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高中数学必修 第一册(648题)
参考答案：\([(\frac {1} {2}{)}^{\frac {\sqrt {2}} {2}}，1)\)
参考答案：\( [-\mathrm{1,2})\)
参考答案：\( \because 3{\mathrm{log}}_{4}5={\mathrm{log}}_{4}125\)
\( 2{\mathrm{log}}_{2}3={\mathrm{log}}_{2}9={\mathrm{log}}_{4}81\)
且函数 \( y={\mathrm{log}}_{4}x\) 在 \( (0,+\infty )\) 上是增函数
\( \therefore 3{\mathrm{log}}_{4}5>2{\mathrm{log}}_{2}3\)
参考答案：\( \because 0>{\mathrm{log}}_{0.2}3>{\mathrm{log}}_{0.2}4\)
\( \therefore \frac{1}{{\mathrm{log}}_{0.2}3}<\frac{1}{{\mathrm{log}}_{0.2}4}\)
即 \( {\mathrm{log}}_{3}0.2<{\mathrm{log}}_{4}0.2\)
参考答案：\( \because \)函数 \( y={\mathrm{log}}_{3}x\) 在 \( (0,+\infty )\) 上是增函数，且 \( \pi >3\)
\( \therefore {\mathrm{log}}_{3}\pi >{\mathrm{log}}_{3}3=1\)
同理 \( 1={\mathrm{log}}_{\pi }\pi >{\mathrm{log}}_{\pi }3\)
\( \therefore {\mathrm{log}}_{3}\pi >{\mathrm{log}}_{\pi }3\)
参考答案：\( \because \)函数 \( y={\mathrm{log}}_{0.2}x\) 在 \( (0,+\infty )\) 上是减函数，且 \( 0.1<0.2\)
\( \therefore {\mathrm{log}}_{0.2}0.1> {\mathrm{log}}_{0.2}0.2=1\)
\( \because \)函数 \( y=0.{2}^{x}\) 在 \( R\) 上是减函数，且 \( 0<0.1\)
\( \therefore 0.{2}^{0.1}<0.{2}^{0}=1\)
故 \( {\mathrm{log}}_{0.2}0.1>0.{2}^{0.1}\)
参考答案：由题意可得：\( \left\{\begin{array}{c}x>0\\ 4-x>0\\ x<4-x\end{array}\right.\Rightarrow 0<x<2\) 故原不等式的解集为 \( \left\{x\right|0<x<2\}\)
参考答案：由题意得 \( x>0\)，且 \( x\ne 1\)。
①当 \( x>1\) 时
\( {\mathrm{log}}_{x}\frac{1}{2}>{\mathrm{log}}_{x}x\) \( \Rightarrow x<\frac{1}{2}\)，此时不等式无解②当 \( 0<x<1\) 时
\( {\mathrm{log}}_{x}\frac{1}{2}>{\mathrm{log}}_{x}x\) \( \Rightarrow x>\frac{1}{2}\) \( \therefore \frac{1}{2}<x<1\) 综上所述，原不等式的解集为 \( \left\{x\right|\frac{1}{2}<x<1\}\)
参考答案：①当 \( a>1\) 时
\( \left\{\begin{array}{c}2x-5>0\\ x-1>0\\ 2x-5>x-1\end{array}\right.\Rightarrow x>4\) ②当 \( 0<a<1\) 时
\( \left\{\begin{array}{c}2x-5>0\\ x-1>0\\ 2x-5<x-1\end{array}\right.\Rightarrow \frac{5}{2}<x<4\) 综上所述，当 \( a>1\) 时，原不等式的解集为 \( \left\{x\right|x>4\}\)；
当 \( 0<a<1\) 时，原不等式的解集为 \( \left\{x\right|\frac{5}{2}<x<4\}\)
参考答案：由题意可得：\( a{x}^{2}+2ax+1>0\)，对于任意 \( x\in R\) 恒成立① 当 \( a=0\) 时可得 \( 1>0\)，满足题意；② 当 \( a>0\) 时\( \Delta =4{a}^{2}-4a<0\)\( \Rightarrow 0<a<1\)
综上所述，\( a\) 的取值范围是 \( \left[\mathrm{0,1}\right)\)
参考答案：设 \( u=a{x}^{2}+2ax+1\)
则 \( g\left(u\right)=\mathrm{ln}u\) 是递增函数
二次函数 \( u=a{x}^{2}+2ax+1(0\le a<1)\) 其对称轴为 \( x=-1\)
\( \therefore x\in [-\mathrm{2,1}]\) 时
\({u}_{\text{min}}=1-a\)，\({u}_{\text{max}}=3a+1\)
即\(f\left ( {x} \right )_{\text{max}}=\ln {\left ( {3a+1} \right )}\)，\(f\left ( {x} \right )_{\text{m}\text{in}}=\ln {\left ( {1-a} \right )}\)
由题意可得：\( \mathrm{ln}\left(3a+1\right)(1-a)=0\)
\( \Rightarrow a=\frac{2}{3}\) 或 \( a=0\) （舍）
故 \( a\) 的值为 \( \frac{2}{3}\)
已知
参考答案：\( \because f\left(x\right)=({2}^{2022}{)}^{x},x<0\)
\( \therefore f\left(x\right)\) 的反函数 \( g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{{2}^{2022}}x=\frac{1}{2022}{\mathrm{log}}_{2}x\)
当 \( x<0\) 时，\( 0<f\left(x\right)<1\)
即 \( f\left(x\right)\) 的值域为 \( \left(\mathrm{0,1}\right)\)
故 \( g\left(x\right)\) 的定义域为 \( \left(\mathrm{0,1}\right)\)，值域为 \( (-\infty ,0)\)
参考答案：\( \because \)函数 \( f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}+ax\right)\)是奇函数
\( \therefore f\left(x\right)+f(-x)=0\)
即\( \mathrm{ln}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}+ax\right)+\mathrm{ln}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}-ax\right)=0\)
可得 \( (\sqrt{1+{x}^{2}}+ax)(\sqrt{1+{x}^{2}}-ax)=1\)
即 \( (1+{x}^{2})-{a}^{2}{x}^{2}=1\)
\( \Rightarrow a=1\) 或\(a=-1\) \( \)
参考答案：①\( \because a>0\)
\( \therefore a=1\)
函数 \( f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}+x\right)\)，定义域为 \( R\)
则 \( f\left(x\right)\) 在 \( R\) 上单调递增
②\( \because \)对任意实数 \( x\)，不等式 \(f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )+f\left ( {3-2m} \right )<0\) 恒成立
\(\therefore f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )<-f\left ( {3-2m} \right )\)，\(\therefore f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )<f\left ( {2m-3} \right )\)
由①可知 函数 \( f\left(x\right)\) 在 \( R\) 上单调递增
\(\therefore \sin^{2} {x}+\cos {x}<2m-3\)
而 \(\therefore \sin^{2} {x}+\cos {x}<1-\cos^{2} {x}+\cos {x}\)
\( =-(\mathrm{cos}x-\frac{1}{2}{)}^{2}+\frac{5}{4}\le \frac{5}{4}\)\( \therefore 2m-3>\frac{5}{4}\)\( \Rightarrow m>\frac{17}{8}\)
故 正整数 \( m\) 的最小值为3
参考答案：函数 \( f\left(x\right)\) 为奇函数，证明如下：
\( \because \frac{x+1}{x-1}>0\Rightarrow x<-1\) 或 \( x>1\)\( \therefore \)函数的定义域为 \( (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )\)，关于原点对称
\( f\left(-x\right)=\mathrm{ln}\frac{-x+1}{-x-1}=\mathrm{ln}\frac{x+1}{x-1}\)\( =\mathrm{ln}{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{-1}=-\mathrm{ln}\frac{x+1}{x-1}=-f\left(x\right)\)
故函数 \( f\left(x\right)\) 为奇函数
参考答案：\( f\left(2\right)+f\left(4\right)+\cdots +f\left(2n\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{3}{1}\times \frac{5}{3}\times \frac{7}{5}\times \cdots \times \frac{2n+1}{2n-1}\right)\)
\( =\mathrm{ln}\left(2n+1\right)\)
\( \therefore f\left(2\right)+f\left(4\right)+\cdots +f\left(2n\right)-2n=\mathrm{ln}\left(2n+1\right)-2n\)\( =\mathrm{ln}\left(2n+1\right)-\left[\right(2n+1)-1]\)
又 \( g\left(x\right)=\mathrm{ln}x-(x-1)\) 在 \( (1,+\infty )\) 上单调递减
即当 \( x>1\) 时，\( g\left(x\right)<g\left(1\right)=0\)
\( \therefore g(2n+1)<0\)
\( \therefore \mathrm{ln}\left(2n+1\right)-\left[\right(2n+1)-1]<0\)
故\( f\left(2\right)+f\left(4\right)+\cdots +f\left(2n\right)<2n(n\in {N}^{*})\)
参考答案：由题意可得：\( \left\{\begin{array}{c}2+3x>0\\ 2-3x>0\end{array}\right.\)\( \Rightarrow -\frac{2}{3}<x<\frac{2}{3}\) 即函数的定义域为 \( (-\frac{2}{3},\frac{2}{3})\)
参考答案：函数 \( f\left(x\right)\) 为奇函数，证明如下：
函数的定义域为 \( (-\frac{2}{3},\frac{2}{3})\)，关于原点对称
\( f(-x)={\mathrm{log}}_{a}\left(2-3x\right)-{\mathrm{log}}_{a}\left(2+3x\right)=-f\left(x\right)\)
故函数 \( f\left(x\right)\) 为奇函数
参考答案：\( \because f\left(x\right)\ge 0\)
\( \therefore {\mathrm{log}}_{a}\left(2+3x\right)\ge {\mathrm{log}}_{a}\left(2-3x\right)\)
又 \( 0<a<1\)，则函数\(y=\log_{a} {x}\) 为减函数
\( \therefore 0<2+3x)\le {\mathrm{log}}_{a}\left(2-3x\right)\)
\( \Rightarrow -\frac{2}{3}<x\le 0\)
即解集为 \( (-\frac{2}{3},0]\)
参考答案：由题意可知：函数 \( \left(x\right)={\mathrm{log}}_{a}\frac{b-x}{3+x}\) 为奇函数
\( \therefore f\left(0\right)={\mathrm{log}}_{a}\frac{b}{3}=0\)\( \therefore b=3\)
\( \therefore f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{a}\frac{3-x}{3+x}\)
由 \( \frac{3-x}{3+x}>0\text{ }\Rightarrow -3<x<3\)
\( \therefore f\left(x\right)\) 的定义域为 \( (-\mathrm{3,3})\)