高中数学必修 第一册（648题）

---

知识点：第四章 指数函数与对数函数

参考答案：①\( \because a>0\)

\( \therefore a=1\)

函数 \( f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}+x\right)\)，定义域为 \( R\)

则 \( f\left(x\right)\) 在 \( R\) 上单调递增

②\( \because \)对任意实数 \( x\)，不等式 \(f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )+f\left ( {3-2m} \right )<0\) 恒成立

\(\therefore f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )<-f\left ( {3-2m} \right )\)，\(\therefore f\left ( {\sin^{2} {x+\cos {x}}} \right )<f\left ( {2m-3} \right )\)

由①可知 函数 \( f\left(x\right)\) 在 \( R\) 上单调递增

\(\therefore \sin^{2} {x}+\cos {x}<2m-3\)

而 \(\therefore \sin^{2} {x}+\cos {x}<1-\cos^{2} {x}+\cos {x}\)

\( =-(\mathrm{cos}x-\frac{1}{2}{)}^{2}+\frac{5}{4}\le \frac{5}{4}\)\( \therefore 2m-3>\frac{5}{4}\)\( \Rightarrow m>\frac{17}{8}\)

故 正整数 \( m\) 的最小值为3