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高中数学选择性必修第二册(381题)

第21题

某地区森林原有木材存量为\(1\)，且每年增长率为 \(25\% \) ，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 \(\frac{1}{6}\) ，设 \({a_n}\) 为 \(n\) 年后该地区森林木材的存量，则 \({a_n}\) 的表达式是___.

参考答案：\({a_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{5}{4}} \right)^{n - 1}} + \frac{2}{3}\)

解析：

由题意可知，\({a_1} = 1\)，第 \(n + 1\) 年后， \({a_{n + 1}} = \left( {1 + 25\% } \right){a_n} - \frac{1}{6} = \frac{5}{4}{a_n} - \frac{1}{6}\) ，

则 \({a_{n + 1}} - \frac{2}{3} = \frac{5}{4}\left( {{a_n} - \frac{2}{3}} \right)\) ，所以，数列 \(\left\{ {{a_n} - \frac{2}{3}} \right\}\) 是以 \(\frac{1}{3}\) 为首项，以 \(\frac{5}{4}\)为公比的等比数列，

则 \({a_n} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{n - 1}}\) ，因此， \({a_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{5}{4}} \right)^{n - 1}} + \frac{2}{3}\) .

故答案为： \({a_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{5}{4}} \right)^{n - 1}} + \frac{2}{3}\) .

第22题

求证： \({S_{n + 1}} = 2{S_n} + \lambda \) ．

参考答案：证明
∵\({a_{n + 1}} = {S_{n + 1}} - {S_n}\) ，
\(S_n^2 = a_{n + 1}^2 - \lambda {S_{n + 1}}\) ，
∴ \(S_n^2 = {\left( {{S_{n + 1}} - {S_n}} \right)^2} - \lambda {S_{n + 1}}\) ，
∴ \({S_{n + 1}}\left( {{S_{n + 1}} - 2{S_n} - \lambda } \right) = 0\) ．
∵ \({a_n} > 0\) ，
∴ \({S_{n + 1}} > 0\) ，
∴ \({S_{n + 1}} - 2{S_n} - \lambda = 0\) ，
\({S_{n + 1}} = 2{S_n} + \lambda \) ．

第23题

是否存在实数 \(\lambda \) ，使得数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 为等比数列？若存在，求出 \(\lambda \) 的值；若不存在，说明理由．

参考答案：∵ \({S_{n + 1}} = 2{S_n} + \lambda \) ，
\({S_n} = 2{S_{n - 1}} + \lambda \left( {n \geqslant 2} \right)\) ，
相减得 \({a_{n + 1}} = 2{a_n}\left( {n \geqslant 2} \right)\) ，
∴ \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 从第二项起成等比数列．
∵ \({S_2} = 2{S_1} + \lambda \) ，
即 \({a_2} + {a_1} = 2{a_1} + \lambda \) ，
∴ \({a_2} = 1 + \lambda > 0\) ，
∴ \(\lambda > - 1\) ，
∴ \({a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1,n = 1,} \\
{\left( {\lambda + 1} \right){2^{n - 2}},n \geqslant 2.}
\end{array}} \right.\) 若使 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 是等比数列，
则 \({a_1}{a_3} = a_2^2\) ，
∴ \(2\left( {\lambda + 1} \right) = {\left( {\lambda + 1} \right)^2}\) ，
∴ \(\lambda = - 1\) （舍）或 \(\lambda = 1\) ．

第24题

若 \(p = \frac{1}{2}\) ， \(q = 2\) ，且 \({a_3} = \frac{{41}}{{20}}\) ，求 \({a_1}\) 的值；

参考答案：∵ \(p = \frac{1}{2}\) ， \(q = 2\) ，
∴ \({a_{n + 1}} = \frac{1}{2} \cdot {a_n} + \frac{2}{{{a_n}}}\) ，
\(a_n^2 - 2{a_n}{a_{n + 1}} + 4 = 0\) ，∵ \({a_3} = \frac{{41}}{{20}}\) ，
∴ \(a_2^2 - \frac{{41}}{{10}}{a_2} + 4 = 0\) ，
解得 \({a_2} = \frac{5}{2}\) 或 \({a_2} = \frac{8}{5}\) ,
当 \({a_2} = \frac{5}{2}\) 时，
\(a_1^2 - 5{a_1} + 4 = 0\) ，
解得 \({a_1} = 1\) 或 \({a_1} = 4\) ；
\({a_2} = \frac{8}{5}\) 时，
\(a_1^2 - \frac{{16}}{5}{a_1} + 4 = 0\) ，
无解.∴ \({a_1} = 1\) 或 \({a_1} = 4\) ；

第25题

若 \({a}_{1}=5\) ， \(p \cdot q = 0\) ，求数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 的前 \(n\) 项和 \({S_n}\) ．

参考答案：∵ \(p \cdot q = 0\) ，且\(p，q\) 均为非负实数且不同时为0．

∴ \(p = 0,q > 0\) 或 \(q = 0,p > 0\) ，

当 \(p = 0,q > 0\) 时， \({a_{n + 1}} = \frac{q}{{{a_n}}}\left( {n \in {{\rm{N}}^*}} \right)\) ，

由 \({a}_{1}=5\) ， ∴\({a_2} = \frac{q}{5}\) ， \({a_3} = \frac{q}{{{a_2}}} = 5\) ，…， \({a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5,n = 2k - 1} \\ {\frac{q}{5},n = 2k} \end{array}\left( {k \in {N_ + }} \right)} \right.\) ,

\({S_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{25n + qn - q + 25}}{{10}},n = 2k - 1} \\ {\frac{{25n + qn}}{{10}},n = 2k} \end{array}(k \in {{\rm{N}}_ + })} \right.\) ;

当 \(q = 0,p > 0\) 时， \({a_{n + 1}} = p{a_n}\) ,是以 \({a}_{1}=5\) 为首项，以 \(p\) 为公比的等比数列，

\({S_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{5\left( {{p^n} - 1} \right)}}{{p - 1}},p \ne 1} \\ {5n,p = 1} \end{array}} \right.\) .

第26题

求数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 的通项公式；

参考答案：由 \({a_{n + 1}} - 2{a_n} = {2^{n + 1}}\) ，

可得 \(\frac {{a}_{n+1}} {{2}^{n+1}}-\frac {{a}_{n}} {{2}^{n}}=1\)，

则数列 \(\left\{ {\frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}} \right\}\) 是首项为 \(\frac {{a}_{1}} {2}=1\)，公差为 1 的等差数列，

则 \(\frac {{a}_{n}} {{2}^{n}}=1+n-1=n\)，即 \({a_n} = n \cdot {2^n}\) ；

第27题

设 \({b_n} = \frac{{n + 2}}{{n \cdot {a_{n + 1}}}}\) ，求数列 \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) 的前\(n\) 项和 \({T_n}\) .

参考答案：\({b_n} = \frac{{n + 2}}{{n{a_{n + 1}}}} = \frac{{n + 2}}{{n\left( {n + 1} \right) \cdot {2^{n + 1}}}} = \frac{1}{{n \cdot {2^n}}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot {2^{n + 1}}}}\) ，
\({T_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} - \frac{1}{{2 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{2 \cdot {2^2}}} - \frac{1}{{3 \cdot {2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{n \cdot {2^n}}} - \frac{1}{{(n + 1) \cdot {2^{n + 1}}}}\)\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{{(n + 1) \cdot {2^{n + 1}}}}\) .

第28题

对于数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)，“\({a_n} = kn + b\)”是“数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)为等差数列”的（）

A.充分非必要条件；

B.必要非充分条件；

C.充要条件；

D.既非充分又非必要条件.

参考答案：C

解析：

解：若数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式为\({a_n} = kn + b\)，则\({a_{n + 1}} - {a_n} = k(n + 1) + b - (kn + b) = k\)(\(k\)为常数)，由等差数列的定义可得数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)为等差数列；

若数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)为等差数列，设首项为\({a_1}\)，公差为\(d\)，则通项公式为\({a_n} = {a_1} + (n - 1)d = nd + \left( {{a_1} - d} \right)\)，

令\(d = k,{a_1} - d = b\)，则数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式可写为\({a_n} = kn + b\)，\((k,b\)为常数，\(n \in {N^*})\).

所以对于数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)，“\({a_n} = kn + b\)”是“数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)为等差数列”的充要条件.

故选：C.

第29题

已知在等差数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)中，\({a_4} + {a_8} = 20\),\({a_7} = 12\)，则\({a_9}\)=（）

A.8

B.10

C.14

D.16

参考答案：D

解析：

设公差为\(d\)，

则\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} + 3d + {a_1} + 7d = 20} \\\
{{a_1} + 6d = 12}
\end{array}} \right.\)，解得\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} = 0} \\\
{d = 2}
\end{array}} \right.\)，

所以\({a_9} = {a_1} + 8d = 16\).

故选：D.

第30题

下列数列不是等差数列的是（）

A.0，0，0，…，0，…

B.\(-2，-1，0，\cdots ，n-3，\cdots \)

C.\(1，3，5，\cdots ，2n-1，\cdots \)

D.0，1，3，…，\(\frac{{{n^2} - n}}{2}\)，…

参考答案：D

解析：

选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；

选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；

选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；

选项D中，\(1 - 0 \ne 3 - 1\)，不是等差数列，

故选：D．

第31题

在等差数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)中，若\({a_4} + \frac{1}{2}{a_7} + {a_{10}} = 10\)，则\({a_3} + {a_{11}} = \)（）

A.2

B.4

C.6

D.8

参考答案：D

解析：

因为\(10 = {a_4} + \frac{1}{2}{a_7} + {a_{10}} = \frac{1}{2}{a_7} + 2{a_7}\)，解得：\({a_7} = 4\)，所以\({a_3} + {a_{11}} = 2{a_7} = 8\)．

故选：D．

第32题

下列数列中是等差数列的是（）

A.\(a - d\)，\(a\)，\(a + d\)

B.2，4，6，8，…，\(2\left( {n - 1} \right)\)，\(2n\)

C.\(a - 2d\)，\(a - d\)，\(a + d\)，\(a + 2d\left( {d \ne 0} \right)\)

D.\({a_{n - 1}} = {a_n} - \frac{1}{2}\left( {n \in {N^*},n > 1} \right)\)

参考答案：ABD

解析：

解：对于A选项，由于\(\left( {a + d} \right) - a = a - \left( {a - d} \right) = d\)，故是等差数列，正确；

对于B选项，2，4，6，8，…，\(2\left( {n - 1} \right)\)，\(2n\)中，\(2n - 2\left( {n - 1} \right) = 2\)，是等差数列，正确；

对于C选项，因为\(a - d - \left( {a - 2d} \right) = d\)，\(\left( {a + d} \right) - \left( {a - d} \right) = 2d\)，又\(d \ne 0\)，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；

对于D选项，由\({a_{n - 1}} = {a_n} - \frac{1}{2}\left( {n \in {N^*},n > 1} \right)\)得\({a_n} - {a_{n - 1}} = \frac{1}{2}\left( {n \in {N^*},n > 1} \right)\)，满足等差数列定义.

故选：ABD.

第33题

若\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)是等差数列，则下列数列为等差数列的有（）

A.\(\left\{ {{a_n} + 3} \right\}\)

B.\(\left\{ {a_n^2} \right\}\)

C.\(\left\{ {{a_{n - 1}} + {a_n}} \right\}\)

D.\(\left\{ {2{a_n} + n} \right\}\)

参考答案：ACD

解析：

设等差数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的公差为d，当\(n \geqslant 2\)时，\({a_n} - {a_{n - 1}} = d\).

对于A，\({a_{n + 1}} + 3 - \left( {{a_n} + 3} \right) = {a_{n + 1}} - {a_n} = d\)，为常数，

因此\(\left\{ {{a_n} + 3} \right\}\)是等差数列；故A正确

对于B，\(a_{n + 1}^2 - a_n^2 = d\left( {{a_{n + 1}} + {a_n}} \right) = d\left[ {2{a_1} + \left( {2n - 1} \right)d} \right]\)，不为常数，

因此\(\left\{ {a_n^2} \right\}\)不是等差数列；故B错误

对于C，\(\left( {{a_{n + 2}} + {a_{n + 1}}} \right) - \left( {{a_{n + 1}} + {a_n}} \right) = {a_{n + 2}} - {a_n} = 2d\)，为常数，

因此\(\left\{ {{a_{n + 1}} + {a_n}} \right\}\)是等差数列；故C正确

对于D，\(2{a_{n + 1}} + \left( {n + 1} \right) - \left( {2{a_n} + n} \right) = 2\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right) + 1 = 2d + 1\)，为常数，

因此\(\left\{ {2{a_n} + n} \right\}\)是等差数列，故D正确

故选：ACD.

第34题

下列数列是等差数列的是（）

A.0，0，0，0，0，…

B.1，11，111，1，111，…

C.-5，-3，-1，1，3，…

D.1，2，3，5，8，…

参考答案：AC

解析：

根据等差数列的定义可知A，C是等差数列．

故选：AC

第35题

已知等差数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)满足\({a_4} = {a_1} + {a_2}\)，且\({a_1} \ne 0\)，则\(\frac{{{a_5}}}{{{a_1} + {a_3}}} = \)___．

参考答案：1

解析：

因为\({a_4} = {a_1} + {a_2}\)，所以\({a_1} + 3d = {a_1} + {a_1} + d\)，即\({a_1} = 2d\).

因为\({a_1} \ne 0\)，则\(d \ne 0\)，

所以\(\frac{{{a_5}}}{{{a_1} + {a_3}}} = \frac{{{a_1} + 4d}}{{{a_1} + {a_1} + 2d}} = \frac{{6d}}{{6d}} = 1\).

故答案为：1

第36题

已知等差数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的首项为\(a\)，公差为\(d\)；等差数列\(\left\{ {{b_n}} \right\}\)的首项为\(b\)，公差为\(e\)．如果\({{c}_{n}}={{a}_{n}}+{{b}_{n}}\left ( {n\geq 1} \right )\)，且\({c_1} = 4\)，\({c_2} = 8\)，则\({c_{10}} = \)___．

参考答案：40

解析：

因为\({c_n} - {c_{n - 1}} = {a_n} + {b_n} - \left( {{a_{n - 1}} + {b_{n - 1}}} \right) = {a_n} - {a_{n - 1}} + {b_n} - {b_{n - 1}} = d + e\)，

所以数列\(\{ {c_n}\} \)是以\(a + b\)为首项，\(d+e\)为公差的等差数列，

因为\({c_1} = 4\)，\({c_2} = 8\)，所以\(d + e = {c_2} - {c_1} = 8 - 4 = 4\)

所以\({c_{10}} = 4 + 4 \times 9 = 40\).

故答案为：40

第37题

数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)中，\({a}_{1}=5\)，\({a}_{n+1}={a}_{n}+3\)，那么这个数列的通项公式是___．

参考答案：\({a_n} = 3n + 2\)

解析：

数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)中，因\({a}_{n+1}={a}_{n}+3\)，即\({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\)，因此，数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)是等差数列，公差\(d=3\)，

所以数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式是\({a_n} = {a_1} + (n - 1)d = 3n + 2\).

故答案为：\({a_n} = 3n + 2\)

第38题

已知数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)满足\( 2{a}_{n+1}={a}_{n}+{a}_{n+2}\left(n\in {\mathit{N}}^{*}\right)\)，且\( {a}_{3}+{a}_{8}+{a}_{13}=2\pi \)，则\( \text{cos}\left({a}_{7}+{a}_{9}\right)=\)（）

A.\( -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\( -\frac{1}{2}\)

C.\( \frac{1}{2}\)

D.\( \frac{\sqrt{3}}{2}\)

参考答案：B

解析：

由题意知，\( 2{a}_{n+1}={a}_{n}+{a}_{n+2}\)，

由等差数列的等差中项，得数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)为等差数列，

又\( {a}_{3}+{a}_{8}+{a}_{13}=2\pi \)，所以\( {a}_{8}=\frac{2\pi }{3}\)，

则\( {a}_{7}+{a}_{9}=2{a}_{8}=\frac{4\pi }{3}\)，

所以\(\cos {\left ( {{a}_{7}+{a}_{9}} \right )}=\cos {\frac {4\pi } {3}}=-\cos {\frac {\pi } {3}}=-\frac {1} {2}\).

故选：B

第39题

在等差数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)中，\({a_3} = 5\)，\( \frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{5}}=\frac{10}{9}\)，则\( {a}_{1}\cdot {a}_{5}=\)（）

A.\( \frac{9}{2}\)

B.\( 9\)

C.\( 10\)

D.\( 12\)

参考答案：B

解析：

由\( \frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{5}}=\frac{10}{9}\)得：\( \frac{{a}_{1}+{a}_{5}}{{a}_{1}{a}_{5}}=\frac{2{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{5}}=\frac{10}{9}\)，\( \therefore {a}_{1}\cdot {a}_{5}=\frac{9{a}_{3}}{5}=9\).

故选：B

第40题

已知数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)中，\( {a}_{1}=1\)，\({a_2} = 2\)，\( {a}_{n+2}={\left(-1\right)}^{n+1}{a}_{n}+2\)，则\( \frac{{a}_{18}}{{a}_{19}}=\)（）

A.\( 3\)

B.\( \frac{1}{13}\)

C.\(\frac{2}{{13}}\)

D.\( \frac{2}{19}\)

参考答案：D

解析：

当\( n\)为奇数时，\( {a}_{n+2}-{a}_{n}=2\)，即数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)中的奇数项依次构成首项为\( 1\)，公差为\( 2\)的等差数列，

所以，\( {a}_{19}=1+\left(10-1\right)\times 2=19\)，

当\( n\)为偶数时，\( {a}_{n+2}+{a}_{n}=2\)，则\( {a}_{n+4}+{a}_{n+2}=2\)，两式相减得\( {a}_{n+4}-{a}_{n}=0\)，

所以，\( {a}_{18}={a}_{4\times 4+2}={a}_{2}=2\)，

故\( \frac{{a}_{18}}{{a}_{19}}=\frac{2}{19}\)，

故选：D

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