高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：∵ \({S_{n + 1}} = 2{S_n} + \lambda \) ，
\({S_n} = 2{S_{n - 1}} + \lambda \left( {n \geqslant 2} \right)\) ，
相减得 \({a_{n + 1}} = 2{a_n}\left( {n \geqslant 2} \right)\) ，
∴ \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 从第二项起成等比数列．
∵ \({S_2} = 2{S_1} + \lambda \) ，
即 \({a_2} + {a_1} = 2{a_1} + \lambda \) ，
∴ \({a_2} = 1 + \lambda > 0\) ，
∴ \(\lambda > - 1\) ，
∴ \({a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1,n = 1,} \\
{\left( {\lambda + 1} \right){2^{n - 2}},n \geqslant 2.}
\end{array}} \right.\) 若使 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 是等比数列，
则 \({a_1}{a_3} = a_2^2\) ，
∴ \(2\left( {\lambda + 1} \right) = {\left( {\lambda + 1} \right)^2}\) ，
∴ \(\lambda = - 1\) （舍）或 \(\lambda = 1\) ．