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高中数学选择性必修 第三册(30题)
第1题
计算 \(C_3^3{\rm{ + }}C_4^3{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}C_9^3\) 得到结果为（ ）
A.210
B.165
C.126
D.120
参考答案：A
解析：
\({\rm{C}}_3^3 + {\rm{C}}_4^3 + \ldots + {\rm{C}}_9^3\)
\( = {\rm{C}}_4^4 + {\rm{C}}_4^3 + \ldots + {\rm{C}}_9^3\)
\( = {\rm{C}}_5^4 + {\rm{C}}_5^3 + \ldots + {\rm{C}}_9^3\)
\( = {\rm{C}}_6^4 + {\rm{C}}_6^3 + \ldots + {\rm{C}}_9^3\)
\( = \cdot \cdot \cdot \)
\( = {\rm{C}}_9^4 + {\rm{C}}_9^3\)
\( = {\rm{C}}_{10}^4\)
\( = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}} = 210\)．
故选：A．
A.1728
B.1436
C.864
D.1288
参考答案：C
解析：
左边密码锁的四个数字共有
故选：C.
第3题
某校
A.18
B.36
C.60
D.72
参考答案：B
解析：
因为
①
②
③
故共有
故选：B.
第4题
\(k \in {N_ + },\) 且 \(k \leqslant 40,\) 则 \((50 - k)(51 - k)(52 - k) \cdots (79 - k)\) 用排列数符号表示为（ ）
A.\(A_{79 - k}^{50 - k}\)
B.\(A_{79 - k}^{29}\)
C.\(A_{79 - k}^{30}\)
D.\(A_{50 - k}^{30}\)
参考答案：C
解析：
由于所表示的积为 \((79 - k)\) 到 \((50 - k)\) 之间的连续整数，共计30个，用排列数符号表示为 \(A_{(79 - k)}^{30}\) ，选C.
第5题
某社区服务站将6名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有___种．（用数字填写答案）
参考答案：540
解析：
若3个社区的志愿者人数分别为4，1，1，此时不同的分配方案有
故答案为：540
第6题
解不等式
参考答案：\(x=8\)；
由 \({\rm{A}}_8^x < 6{\rm{A}}_8^{x - 2}\) ，得 \(\frac{{8!}}{{\left( {8 - x} \right)!}} < 6 \times \frac{{8!}}{{\left( {10 - x} \right)!}}\) ，
化简得 \({x^2} - 19x+84 < 0\) ，解之得 \(7 < x < 12\) ，①
又 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8 \geqslant x} \\ {x - 2 > 0} \end{array}} \right.\) ， \(\therefore 2 < {\rm{x}} \leqslant 8\) ，②
由①②及 \(x \in {{\mathbf{N}}^*}\) 得 \(x=8\) .
第7题
证明： \({\rm{A}}_{n + 1}^m - {\rm{A}}_n^m = m{\rm{A}}_n^{m - 1}\) .
参考答案：\(\because {{A}^{m}_{n+1}}-{A}^{m}_{n}\)
\(=\frac {\left ( {n+1} \right )!}{\left ( {n+1-m} \right )!}-\frac {n!} {\left ( {n-m} \right )!} \)
\(=\frac {n!} {\left ( {n-m} \right )!}\cdot \left ( {\frac {n+1} {n+1-m}-1} \right )\)
\(=\frac {n!} {\left ( {n-m} \right )!}\cdot \frac {m} {\left ( {n+1-m} \right )}\)
\(=m\cdot \frac {n!} {\left ( {n+1-m} \right )!}\)
\(=m{A}^{m-1}_{n},\)
\(\therefore {\rm{A}}_{n + 1}^m - {\rm{A}}_n^m
= m{\rm{A}}_n^{m - 1} \).
第8题
参考答案：\(\frac{1}{6}\)
原式 \( = \left( {C_{100}^2 + C_{100}^3} \right) \div A_{101}^3 = C_{101}^3 \div A_{101}^3\)\( = \frac{{A_{101}^3}}{{A_3^3}} \div A_{101}^3 = 1 \div A_3^3 = \frac{1}{6}\) .
第9题
参考答案：330
原式 \( = C_4^4 + C_4^3 + C_5^3 + \ldots + C_{10}^3 = C_5^4 + \cdots C_{10}^3\)\( = C_6^4 + C_6^3 + \ldots + C_{10}^3 = \cdots = C_{10}^4 + C_{10}^3 = C_{11}^4\)\( = 330\)
第10题
\(C_8^5 + C_{99}^{99} \cdot C_{100}^{98}\) ；
参考答案：5006
\({C}^{5}_{8}+{C}^{99}_{99}\cdot {C}^{98}_{100}\)
\(={C}^{3}_{8}+1\times {C}^{2}_{100}\)
\(=\frac {8\times 7\times 6} {3\times 2\times 1}+\frac {100\times 99} {2\times 1}\)
\(=56+4950=5006\)
第11题
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\) ；
参考答案：\(32\)，
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 \)
\(= 2\left( {C_5^0 + C_5^1 + C_5^2} \right) \)
\(= 2\left( {C_6^1 + C_5^2} \right) \)
\(= 2 \times \left( {6 + \frac{{5 \times 4}}{{2 \times 1}}} \right) \)
\(= 32\)（或原式\( = {2^5} = 32\)）；
第12题 \(C_n^{n - 1} \cdot C_{n + 1}^n\) 的值；
参考答案：\({n^2} + n\)
\(C_n^{n - 1} \cdot C_{n + 1}^n \)
\(= C_n^{n - 1} \cdot \left( {C_n^n + C_n^{n - 1}} \right) \)
\(= C_n^1 \cdot \left( {1 + C_n^1} \right) = {n^2} + n\)（或原式\( = C_n^1 \cdot C_{n + 1}^1 \)
\(= n\left( {n + 1} \right) = {n^2} + n\)）．
第13题
用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A.24个
B.30个
C.40个
D.60个
参考答案：B
解析：
由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有
第14题
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A.24对
B.30对
C.48对
D.60对
参考答案：C
解析：
正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有
第15题
7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法___.
参考答案：480
解析：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有
第16题
7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法___
参考答案：840
解析：
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
(插空法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有
第17题
一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种___
参考答案：43200
解析：
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
第18题
8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法;
参考答案：
5760
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.
第19题
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
参考答案：
84
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
第20题
一堆1本，一堆2本，一堆3本；
参考答案：先从6本书中任取1本，作为一堆，有 \({\rm{C}}_6^1\) 种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有 \({\rm{C}}_5^2\) 种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有 \({\rm{C}}_3^3\) 种取法，故共有分法 \({\rm{C}}_6^1{\rm{C}}_5^2{\rm{C}}_3^3 = 60\) 种.