第321题

如图，在矩形\( ABCD\)中，\( AC\mathrm{、}BD\)交于点\( O\)，若\(AB=5\)，\(AC=13\)，求\( △BOC\)的周长。 

参考答案：∵矩形\( ABCD\)，\(AC=13\)

\(\therefore \mathrm{\angle }ABC=90°\)，
\(AC=BD\)，\( AC\)与\( BD\)互相平分

\(\therefore OB=OC=\frac {1} {2}AC=6.5\)

\( \because \)在\( \mathrm{R}\mathrm{t}△ABC\)中，
\(AB=5\)，\(AC=13\)，\(\mathrm{\angle }ABC=90°\)

∴\(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)

\(\therefore BC=\sqrt {{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=12\)

\( \therefore △BOC\)周长为：\( BC＋OB＋OC=25\)

第322题

参考答案：\(\sqrt 3 + 1\)

第323题

参考答案：

第324题

如图，在三角形\(ABC\)中，\(AB = AC\)，\(AF \bot BC\)于\(F\)，\(BE \bot AC\)于\(E\)，且点\(D\)是\(AB\)的中点，顺次连接\(D、E、F\)，若\(BC = 6\)，三角形\(DEF\)的周长是8，则\(AF\) =（）

A.3

B.\(\sqrt 7 \)

C.\(\sqrt 6 \)

D.4

参考答案：D

第325题

如图，矩形\( ABCD\)中，对角线\( AC\mathrm{、}BD\)交于点\( O\)，\( \mathrm{\angle }BAD\)的平分线交\( BC\)边于点\( E\)，且\(\mathrm{\angle }EAC=15°\)。先猜想线段\( BO\)与\( BE\)的大小关系，再证明你的结论。

参考答案：\( BO＝BE\)

证明：∵矩形\( ABCD\)

\(\therefore \mathrm{\angle }BAD\)
\(=\mathrm{\angle }ABC=90°\)，
\( AC\)与\( BD\)互相平分且\(AC=BD\)

\(\therefore OA=OB\)

\( \because AE\)平分\( \mathrm{\angle }BAD\)

\(\therefore \mathrm{\angle }BAE=45°\)

\(\because \mathrm{\angle }EAC=15°\)

\(\therefore \mathrm{\angle }BAO=60°\)

\( \therefore △ABO\)是等边三角形

\(\therefore BO=AB\)

\(\because \mathrm{\angle }BAE=45°\)，
\(\mathrm{\angle }ABE=90°\)

\(\therefore \mathrm{\angle }AEB=45°\)
\(=\mathrm{\angle }BAE\)

\(\therefore BE=AB\)

\(\therefore BO=BE\)

第326题

参考答案：证明：
\( \because \mathrm{ }△BCD\)沿对角线\( BD\)折叠得到\( △BFD\)，
\( \therefore \mathrm{\angle }DBC\)
\(＝\mathrm{\angle }DBE\mathrm{ }\)
∵ 矩形\( ABCD\)中，\( AD//BC\)
\( \therefore \mathrm{ }\mathrm{\angle }DBC\)
\(＝\mathrm{\angle }ADB\)
\( \therefore \mathrm{ }\mathrm{\angle }ADB\)
\(＝\mathrm{\angle }DBE\)
\( \therefore \mathrm{ }BF＝DF\)

第327题

参考答案：解：由（1）设\(BF=x=DF\)，

∵矩形\( ABCD\)，\(BC=8\)

\(\therefore \mathrm{\angle }BAD=90°\)，\(AD=BC=8\)

\(\therefore AF=8-x\)，

∵在\( \mathrm{R}\mathrm{t}△ABF\)中，\(AB=4\)，\(\mathrm{\angle }BAF=90°\)

∴\(A{B^2} + A{F^2} = B{F^2}\)

∴\({4^2} + {\left( {8 - x} \right)^2} = {x^2}\)

解得：\(x=5\)

\(\therefore \mathrm{}BF=5\)

第328题

参考答案：

第329题 如图，在矩形\(ABCD\)中，已知\(AD = 12\)，\(AB = 5\)，\(P\)是\(AD\)边上任意一点，\(PE \bot BD\)，\(PF \bot AC\)，\(E\)、\(F\)分别是垂足，求\(PE + PF\)的长。

参考答案：

连结\(PO\)．

∵由矩形\(ABCD\)，\(AD = 12\)，\(AB = 5\)

\(\therefore AC=BD=2OA=2OB=13\)

\(\therefore OA=OD=6.5\)

而\({{S}_{矩形ABCD}}=12×5=60\)

\({\therefore {S}_{\Delta AOD}}=\frac {1} {4}×60=15\)

\(\therefore {{S}_{\Delta AOP}}+{{S}_{\Delta DOP}}=15\) 

即\(\frac {1} {2}\times OA\times PF+\frac {1} {2}\times OD\times PE=15\)

\(\therefore \frac {1} {2}×6.5×\left ( {PE+PF} \right )=15\)

\(\therefore PE+PF=\frac {60} {13}\)

第330题

参考答案：\( \mathrm{\angle }ABC＝90°\)

第331题

参考答案：\(\frac{{24}}{5}\)

第332题

参考答案：符合；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；勾股逆定理；有一个角为直角的平行四边形是矩形。

第333题

如图，四边形\(ABCD\)中，对角线\(AC\)，\(BD\)互相平分，交于点\(O\)，点\(E\)为四边形\(ABCD\)外一点，且使\(∠AEC=∠DEB=90°\)，若\(BC = 2AB = 4\)，则\(BD\)的值为（   ）

A.\(2\sqrt 5 \)

B.\(\sqrt 5 \)

C.3

D.4

参考答案：A

第334题

参考答案：7

第335题

参考答案：证明：\(\because AF//BC\)

\(\therefore \angle AFE = \angle DBE\)

\(\because E\)是线段\(AD\)的中点

\(\therefore AE = DE\)

\(\because \angle AEF = \angle DEB\)

\(\therefore \Delta BDE\cong \Delta FAE(\text{AAS})\)

\(\therefore AF = BD\)

\(\because D\)是线段\(BC\)的中点

\(\therefore BD = CD\)

\(\therefore AF = CD\)

\(\because AF//CD\)

\(\therefore \)四边形\(ADCF\)是平行四边形

\(\because AB = AC\)

\(\therefore AD \bot BC\)

\(\therefore \angle ADC = 90^\circ \)

\(\therefore \)平行四边形\(ADCF\)为矩形

第336题

在\( \mathrm{R}\mathrm{t}△ABC\)中，\(\mathrm{\angle }C=90°\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)分别是\( AC，AB，BC\)的中点，连接\(ED\)，\(EF\)。求证四边形\( DEFC\)是矩形。

参考答案：证明：
\(\because D\)，\(E\)，\(F\)分别是\(AC\)，\(AB\)，\(BC\)的中点
\(\therefore DE\)、\(EF\)分别是\(\Delta ABC\)的中位线
\(\therefore DE//BC\)，\(EF//AC\)
\(\therefore \)四边形\(DEFC\)是平行四边形
\(\because \angle C = 90^\circ \)
\(\therefore \)平行四边形\(DEFC\)是矩形

第337题

如图，平行四边形\( ABCD\)中，\(∠1=∠2\)，求证：四边形\( ABCD\)是矩形。

参考答案：证明：\(∵∠1=∠2\)

\( \therefore OA＝OB\)

∵四边形\( ABCD\)是平行四边形

\(\therefore AC=2OA，BD=2OB\)

\(\therefore AC=BD\)

∴平行四边形\( ABCD\)是矩形

第338题

如图，\(\Delta ABC\)中，\(AB = AC\)，\(AD\)平分\(\angle BAC\)，射线\(AN\)平分外角\(\angle CAM\)，过点\(C\)作\(CE \bot AN\)于点\(E\)，求证：四边形\(ADCE\)是矩形。

参考答案：证明：
\(\because AB = AC\)，
\(AD\)平分\(\angle BAC\)，
\(\therefore AD \bot BC\)，
\(\angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC\)，
\(\therefore \angle ADC = 90^\circ \)。
\(\because AN\)是\(\Delta ABC\)外角的平分线，
\(\therefore \angle CAE \)
\(= \frac{1}{2}\angle CAM\)。
\(\because \angle BAC + \angle CAM \)
\(= 180^\circ \)，
\(\therefore \angle DAN \)
\(= \angle CAD + \angle CAE\)
\( = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle CAM) \)
\(= 90^\circ \)。
\(\because CE \bot AN\)，
\(\therefore \angle CEA = 90^\circ \)，
\(\therefore \)四边形\(ADCE\)为矩形。

第339题

参考答案：证明：
\(\because CF = BE\)，
\(\therefore CF + EC = BE + EC\)．即\(EF = BC\)，
\(\because \)四边形\(ABCD\)是平行四边形，
\(\therefore AD//BC\)，\(AD = BC\)，
\(\therefore AD//EF\)，\(AD = EF\)，
\(\therefore \)四边形\(AEFD\)是平行四边形。
\(\because AE \bot BC\)，
\(\therefore \angle AEF = 90^\circ \)．
\(\therefore \)平行四边形\(AEFD\)是矩形。

第340题

如图，在\(▱ABCD\)中，过点\(A\)作\(AE \bot DC\)交\(DC\)的延长线于点\(E\)过点\(D\)作\(DF \bot BA\)，交\(BA\)的延长线于点\(F\)，求证：四边形\(AEDF\)是矩形。

参考答案：证明：\(\because \)四边形\(ABCD\)是平行四边形，

\(\therefore AB//DC\)，\(AF//ED\)，

\(\because AE \bot DC\)，

\(∴AE⊥BA\)，

∵\(DF \bot BA\)，

\(\therefore DF//EA\)，

\(\therefore \)四边形\(AEDF\)是平行四边形，

\(\because AE \bot DE\)，

\(\therefore \angle E = 90^\circ \)，

\(\therefore \)四边形\(AEDF\)是矩形。