第261题

参考答案：45°和135°

第262题

参考答案：16cm、11cm

第263题 在\(▱ABCD\)中，若\( \mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B=40°\)，则\( \mathrm{\angle }C=\)___，\( \mathrm{\angle }D=\)___。

参考答案：110°；70°

第264题

参考答案：20；10

第265题

如图，\( E， F\)分别为\(▱ABCD\)的边\( BC\)， \( AD\)上的点，且\( \mathrm{\angle }AEB=\mathrm{\angle }CFD\)。求证: \( AE=CF\)。

参考答案：证明：\(\because ▱ABCD\)，\( \therefore \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D，AB=CD\)。

在\( △AEB\)和\( △CFD\)中，\( \because \mathrm{\angle }AEB=\mathrm{\angle }CFD\)，\( \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D\)，\( AB=CD\)，\( \therefore △AEB≌△CFD（\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{S}）\)，\( \therefore AE=CF\)。

第266题

如图，\(▱ABCD\)，\( BQ，DP\)相交于\( C\)，\( △BCP\)和\( △CDQ\)均为等边三角形。求证：\( △APQ\)是等边三角形。

参考答案：证明：\( \because △BCP\)和\( △CDQ\)是等边三角形，
\( \therefore \mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCB=60°\)，\( PC=PB，CQ=CD\)。

\(\because ▱ABCD\)，
\(\therefore AB=CD=CQ，AB//CD\)，

\(\therefore \mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BCP=60°\)，

\(\therefore \mathrm{\angle }PCQ=180°-\mathrm{\angle }BCP=120°\)，

\(\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }CBP=120°\)。

在\( △BAP\)和\( △CQP\)中，\( \because BA=CQ\)，

\(\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }QCP，BP=CP\)，

\(\therefore △BAP≌△CQP（\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{S}）\)，


\( \therefore PA=PQ，\mathrm{\angle }APB=\mathrm{\angle }QPC\)。

\( \therefore \mathrm{\angle }APQ=\mathrm{\angle }QPC+\mathrm{\angle }APD\)
\(=\mathrm{\angle }APB+\mathrm{\angle }APD=60°\)，

\(\therefore △APQ\)是等边三角形。

第267题

参考答案：2

第268题

如图，在\(▱ABCD\)中，\( BC=2CD\)，\( E\)为\( AD\)的中点，\( CE，BA\)的延长线交于点\( F\)，连接\( BE\). 

参考答案：证明：
\(\because ▱ABCD，\)
\(\therefore AB//CD，\)
\(\therefore \mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }DAF，\mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }DCF\)，
\( \because E\)为\( AD\)的中点，
\( \therefore DE=AE\)。

在\( △CDE\)和\( △FAE\)中，
\( \because \mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }DAF\)，
\( \mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }DCF\)，\( DE=AE\)，
\( \therefore △CDE≌△FAE\mathrm{ }\left(\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{S}\right)\)，
\( \therefore AF=CD，CE=EF\)。
\( \because BC=2CD，\therefore BC=2AF\)。

\(\because ▱ABCD，\)
\(\therefore AB=CD，\)
\(\therefore AB=AF，\)
\(\because AB+AF=BF，\)
\(\therefore BF=2AF，\)
\(\therefore BC=BF\)，
又\( CE=EF\)，
\( \therefore E\)为\( CF\)中点，
\( \therefore BE\perp CF\)。

第269题

如图，\(▱ABCD\)，经过点\( A\)的一条直线分别交\( CD，CB\)的延长线于点\( E，F\)，且\( \mathrm{\angle }EAD＝\mathrm{\angle }BAF\)．判断\( △CEF\)的形状，并说明理由。

参考答案：判断：\( △CEF\)是等腰三角形。

理由：
\(\because ▱ABCD，\)
\(\therefore AD//BC，\mathrm{}AB//DC，\)
\(\therefore \mathrm{\angle }EAD＝\mathrm{\angle }F，\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }E\)
\( \because \mathrm{\angle }EAD＝\mathrm{\angle }BAF，\)
\(\therefore \mathrm{\angle }F\mathrm{ }=\mathrm{\angle }E，\)
\(\therefore △CEF\)是等腰三角形。

第270题

如图，在\( △ABC\)中，点\( E，G\)在\( AC\)边上，点\( D，F\)在\( BC\)边上，且\( BD=CF，\mathrm{ }AB//DE//FG\).

参考答案：

证明：如图，在\( AB\)上截取一点\( H\)，使\( AH=DE\)，连接\( DH\)。

\( \because AB//DE，\therefore AH//DE\)，又\( \because AH=DE\)，∴四边形\( HDEA\)为平行四边形，\( \therefore AE//DH，\therefore AC//DH\)。

\( \because AB//FG，\mathrm{ }\therefore \mathrm{\angle }GFC=\mathrm{\angle }B\)，又\( \because AC//DH，\therefore \mathrm{\angle }BDH=\mathrm{\angle }C\)。

在\( △BHD\)和\( △FGC\)中\( \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }GFC，BD=CF，\mathrm{\angle }BDH=\mathrm{\angle }C，\)\(\therefore △BHD≌△FGC\mathrm{ }（\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{A}）\)

\( \therefore BH=FG，\therefore AB=AH+BH=DE+FG\)。

第271题

如图，在\( △ABC\)中，\( \mathrm{\angle }ABC=90°\)，\( BD\perp AC\)于点\( D\)， \( AE\)平分\( \mathrm{\angle }BAC\)交\( BD\)于点\( E\)，\( EF//DC\)，交\( BC\)于点\( F\)，求证：\( BE=CF\)。

参考答案：

第272题

参考答案：10+2\(\sqrt {13} \)

第273题

参考答案：\( {D}_{1}(2，5)\)，\( {D}_{2}(-6，-1)\)，\( \mathrm{ }{D}_{3}(8，-3)\)

第274题

参考答案：2cm

第275题

参考答案：24

第276题

参考答案：\( 1＜AD＜9\)

第277题

参考答案：\(\frac{{36}}{5}\)

第278题

已知：如图\(▱ABCD\) 中，对角线\( AC\)与\( BD\)交于点\( O\)，过点\( O\)的直线交\( AB\)于点\( E\)，交\( CD\)于点\( F\)，证明：\( OE＝OF\)。

参考答案：证明：\(\because ▱ABCD\mathrm{}\)，\( AC\)与\( BD\)交于\( O\)，\( \therefore OA=OC，\mathrm{ }CD//AB\)，\( \therefore \mathrm{\angle }DCA=\mathrm{\angle }CAB\)。

在\( △OEA\)和\( △OFC\)中，\( \because \mathrm{\angle }CAB=\mathrm{\angle }DCA，OA=OC，\mathrm{\angle }AOE=\mathrm{\angle }COF\)，\( \therefore △OEA≌△OFC（\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{A}），\therefore OE=OF\)。

第279题

参考答案：=

第280题

如图，\( O\)为\(▱ABCD\)对角线\( AC\)的中点，过\( O\)点作一直线与\( DC\mathrm{、}AB\)交于\( E\mathrm{、}F\)，并与\( AD\mathrm{、}CB\)的延长线分别交于\( M\mathrm{、}N\)．求证：\( DM＝BN\)。

参考答案：证明：
\(\because ▱ABCD\mathrm{}，\)
\(\therefore AD=BC，\mathrm{}AD//BC，\)
\(\therefore \mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }ACB\)。

在\( △OAM\)和\( △OCN\)中，
\( \because \mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }ACB，OA=OC，\mathrm{\angle }AOE=\mathrm{\angle }COF，\)
\(\therefore △OAM≌△OCN（\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{A}），\)
\(\therefore AM=CN\)

\( \because AD=BC，\therefore DM=BN\)。