初中数学八年级下册（648题）

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如图，在\(▱ABCD\)中，\( BC=2CD\)，\( E\)为\( AD\)的中点，\( CE，BA\)的延长线交于点\( F\)，连接\( BE\). 

求证：\( BE\perp CF\)。

    

知识点：第十八章　平行四边形

参考答案：证明：
\(\because ▱ABCD，\)
\(\therefore AB//CD，\)
\(\therefore \mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }DAF，\mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }DCF\)，
\( \because E\)为\( AD\)的中点，
\( \therefore DE=AE\)。

在\( △CDE\)和\( △FAE\)中，
\( \because \mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }DAF\)，
\( \mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }DCF\)，\( DE=AE\)，
\( \therefore △CDE≌△FAE\mathrm{ }\left(\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{S}\right)\)，
\( \therefore AF=CD，CE=EF\)。
\( \because BC=2CD，\therefore BC=2AF\)。

\(\because ▱ABCD，\)
\(\therefore AB=CD，\)
\(\therefore AB=AF，\)
\(\because AB+AF=BF，\)
\(\therefore BF=2AF，\)
\(\therefore BC=BF\)，
又\( CE=EF\)，
\( \therefore E\)为\( CF\)中点，
\( \therefore BE\perp CF\)。