第361题

如图，在\({\rm{Rt}}\Delta ABC\)中，\(\angle BAC = 90^\circ \)，\(AD\)是边\(BC\)上的中线，过点\(A\)作\(AE//BC\)，过点\(D\)作\(DE//AB\)，\(DE\)与\(AC\)、\(AE\)分别交于点\(O\)、\(E\)，连接\(EC\)，求证：四边形\(ADCE\)是菱形。

参考答案：证明： \(\because AE//BC\)，\(DE//AB\)，

\(\therefore \)四边形\(ABDE\)为平行四边形；

\(\therefore \)\(AE = BD\)，

\(\because AD\)是边\(BC\)上的中线，

\(\therefore BD = CD\)，

\(\therefore AE = CD\)，

\(\because AE//CD\)

\(\therefore \)四边形\(ADCE\)是平行四边形，

又\(\because \angle BAC = 90^\circ \)，\(AD\)是边\(BC\)上的中线，

\(\therefore AD = \frac{1}{2}BC = CD\)，

\(\therefore \)平行四边形\(ADCE\)是菱形。

第362题

如图，平行四边形\(ABCD\)中，作\(\angle DAB\)的角平分线AE，交边\(CD\)于点\(E\)，过点\(E\)作\(EF//BC\)交\(AB\)于点\(F\)，连接\(EF\)，求证：四边形\(AFED\)是菱形。

参考答案：证明：\(\because \)四边形\(ABCD\)是平行四边形，

\(\therefore AB//CD\)，\(AD//BC\)

\(\therefore \angle DEA = \angle FAE\)，

\(\because AE\)平分\(\angle BAD\)，

\(\therefore \angle DAE = \angle FAE\)，

\(\therefore \angle DEA = \angle DAE\)，

\(\therefore AD = ED\)，

\(\because EF//BC，AD//BC\)

\(\therefore EF//AD\) ，

\(\because DE//AF\)

\(\therefore \)四边形\(AFED\)是平行四边形，

又\(\because AD = ED\)，

\(\therefore \)平行四边形\(AFED\)是菱形。

第363题

如图，在等腰\(\Delta ABC\)中，\(AB = BC\)，\(BO \bot AC\)于点\(O\)，点\(D\)是\(BO\)上一点，延长\(BO\)至点\(E\)，使\(OE = OD\)，连接\(EC，EA\). 求证：四边形\(ADCE\)是菱形。

参考答案：证明：\(\because AB = BC\)，\(BO \bot AC\)，

\(\therefore AO = CO\)，

又\(\because OE = OD\)，

\(\therefore \)四边形\(ADCE\)是平行四边形，

\(\because DE⊥AC\)，

\(\therefore \)平行四边形\(ADCE\)是菱形。

第364题

如图，在\(\Delta ABC\)中，\(\angle BAC = 90^\circ \)，\(AD \bot BC\)于\(D\)，\(CE\)平分\(\angle ACB\)，交\(AB\)于点\(E\)，交\(AD\)于点\(G\)， \(EF \bot BC\)于点\(F\)，连接FG，求证：四边形\(AEFG\)是菱形。

参考答案：证明：\(\because CE\)平分\(\angle ACB\)，\(EF \bot BC\)，\(\angle BAC = 90^\circ (EA \bot CA)\)，

\(\therefore AE = EF\)，\(∠ACE=∠BCE\)

\(\because AD \bot BC\)，

\(\therefore \angle ADC = 90^\circ \)，

\(\because \angle BAC = 90^\circ \)，

\(\therefore \angle BCE + \angle CGD = 90^\circ \)，\(\angle ACE + \angle AEC = 90^\circ \)，

\(\therefore \angle CGD = \angle AEC\)，

\(\because ∠CGD=∠AGE\)，

\(\therefore \angle AGE = \angle AEC\)

\(\therefore AG=AE=EF\)

\(\because AD \bot BC\)，\(EF \bot BC\)，

\(\therefore AD//EF\)，

即\(AG//EF\)，\(AG = EF\)，

\(\therefore \)四边形\(AEFG\)是平行四边形，

\(\because AE = EF\)，

\(\therefore \)平行四边形\(AEFG\)是菱形。

第365题

如图，在平行四边形\(ABCD\)中，点\(O\)是对角线\(BD\)的中点，过点\(O\)作\(EF \bot BD\)，垂足为点\(O\)，且分别交边\(AD\)，\(BC\)于点\(E\)，\(F\)．连接\(BE，DF\)。求证：四边形\(BEDF\)是菱形。

参考答案：证明：\(\because \)四边形\(ABCD\)是平行四边形，\(O\)为对角线\(BD\)的中点，

\(\therefore BO = DO\)，\(AD//BC\)，

\(\therefore \)\(\angle EDB = \angle FBO\)，

\(\because \)在\(\Delta EOD\)和\(\Delta FOB\)中，

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\angle EDO = \angle FBO} \\ {OD = OB} \\ {\angle EOD = \angle FOB} \end{array}} \right.\)，

\(\therefore \Delta DOE \cong \Delta BOF(ASA)\)；

\(\therefore OE = OF\)，

又\(\because OB = OD\)，

\(\therefore \)四边形\(BEDF\)是平行四边形，

\(\because EF \bot BD\)，

\(\therefore \)平行四边形\(BEDF\)为菱形。

第366题

如图，平行四边形ABCD的对角线\(AC\)，\(BD\)相交于点\(O\)，且\(AE//BD\)，\(BE//AC\)，\(OE = CD\)，求证：四边形\(ABCD\)是菱形。

参考答案：证明：
\(\because AE//BD\)，\(BE//AC\)，
\(\therefore \)四边形\(AEBO\)是平行四边形，
\(\because \)四边形\(ABCD\)是平行四边形，
\(\therefore DC = AB\)．
\(\because OE = CD\)，
\(\therefore OE = AB\)．
\(\therefore \)平行四边形\(AEBO\)是矩形，
\(\therefore \angle BOA = 90^\circ \)．
\(\therefore AC \bot BD\)．
\(\therefore \)平行四边形\(ABCD\)是菱形。

第367题

如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(∠BAC=90°\)，\(E\)、\(F\)分别为\(AD\)、\(BC\)的中点，点\(M\)、\(N\)在对角线\(AC\)上，且\(AM = CN\)，求证：四边形\(EMFN\)是菱形。

参考答案：

第368题

参考答案：证明：
\(\because BD\)平分\(\angle ABC\)，
\(\therefore \angle ABD = \angle CBD\)，
\(\because \)在\(\Delta ABD\)和\(\Delta CBD\)中\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\angle ABD = \angle CBD} \\
{\angle A = \angle C} \\
{BD = BD}
\end{array}} \right.\)，
\(\therefore \Delta ABD≌\Delta CBD(AAS)\)，
\(\therefore AB = BC\)，\(AD = DC\)，
\(\because AB = AD\)，
\(\therefore AB = BC = DC = AD\)，
\(\therefore \)四边形\(ABCD\)是菱形。

第369题

参考答案：证明：\(\because AC\)是\(BD\)的垂直平分线，点\(F\)在\(AC\)上，

\(\therefore AB = AD\)，\(BC = CD\)，\(FD=FB\)，

\(\because \)在\(\Delta ABF\)和\(\Delta ADF\)中，

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB = AD} \\ {FB = FD} \\ {AF = AF} \end{array}} \right.\)，

\(\therefore \Delta ABF \cong \Delta ADF({\rm{SSS}})\)，

\(\therefore \angle ABF = \angle ADF\)，\(∠BAC=∠DAC\)

\(\because \angle BEC = \angle ADF\)，

\(\therefore \angle BEC = \angle ABF\)，

\(\therefore AB//CD\)，

\(\therefore \angle BAC = \angle ACD\)，

\(\therefore \angle DAC = \angle ACD\)，

\(\therefore AD = CD\)，

\(\because AB = AD\)，\(BC = CD\)，

\(\therefore AB = CB = CD = AD\)，

\(\therefore \)四边形\(ABCD\)是菱形。

第370题

A.\(120^\circ \)

B.\(135^\circ \)

C.\(145^\circ \)

D.\(150^\circ \)

参考答案：D

第371题

A.\(\sqrt 2 \)

B.4

C.\(2\sqrt 2 \)

D.\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

参考答案：C

第372题

A.\(( - 1, - 2)\)

B.\(( - 1, - 3)\)

C.\(( - 2, - 1)\)

D.\(( - 3, - 1)\)

参考答案：C

第373题

A.\((b,a)\)

B.\(( - b,a)\)

C.\((a, - b)\)

D.\(( - a,b)\)

参考答案：B

第374题

A.\(9\sqrt 2 \)

B.18

C.24

D.36

参考答案：B

第375题

A.\(15^\circ \)

B.\(22.5^\circ \)

C.\(25^\circ \)

D.\(17.5^\circ \)

参考答案：B

第376题

A.\(15^\circ \)

B.\(32.5^\circ \)

C.\(22.5^\circ \)

D.\(30^\circ \)

参考答案：C

第377题

A.\(2 + \sqrt 3 \)

B.\(2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C.\(\sqrt 3 + 1\)

D.\(2\sqrt 3 - 1\)

参考答案：C

第378题

如图，延长正方形\(ABCD\)的边\(BA\)至点\(E\)，使\(AE = BD\)，连接\(CE\)，则\(\angle E\)为（   ）。

A.\(22.5^\circ \)

B.\(25^\circ \)

C.\(30^\circ \)

D.\(45^\circ \)

参考答案：A

第379题

A.\(30^\circ \)

B.\(79^\circ \)

C.\(22^\circ \)

D.\(81^\circ \)

参考答案：C

第380题

A.\(4\sqrt 2 \)

B.\(6\sqrt 2 \)

C.\(2\sqrt {10} \)

D.\(4\sqrt {10} \)

参考答案：C