高中数学必修 第一册(648题)

第81题

参考答案：证明：充分性：\(\because a - b + c = 0\)，\(\therefore c = b - a\)，代入方程\(a{x^2} + bx + c = 0\)得\(a{x^2} + bx + b - a = 0\)，即\(\left( {x + 1} \right)\left( {ax - a + b} \right) = 0\)．\(\therefore \)关于\(x\)的方程\(a{x^2} + bx + c = 0\)有一个根为\( - 1\)；
必要性：\(\because \)方程\(a{x^2} + bx + c = 0\)有一个根为\( - 1\)，\(\therefore x = - 1\)满足方程\(a{x^2} + bx + c = 0\)，\(\therefore a \times {1^2} + b \times \left( { - 1} \right) + c = 0\)，即\(a - b + c = 0\)．故关于\(x\)的方程\(a{x^2} + bx + c = 0\)有一个根是\( - 1\)的充要条件是\(a - b + c = 0\)．

第82题

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：C

第83题

参考答案：①②③；④；①

第84题

A.\(\forall x \in {\mathbf{R}}\)，都有\( {x}^{2}-x\ge x-1\)

B.\(\exists x \in \left( {1, + \infty } \right)\)，使得\( x+\frac{4}{x-1}=6\)

C.任意非零实数\(a,b\)，都有\( \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\)

D.\(\forall x \in \left( {2, + \infty } \right)\)，都有\( \sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+1}}\ge 4\)

参考答案：ABD

第85题

A.\(\left( { - \infty , - 4} \right)\)

B.\(\left( { - \infty ,4} \right)\)

C.\(\left[ { - 4, + \infty } \right)\)

D.\(\left[ {4, + \infty } \right)\)

参考答案：C

第86题

A.\(\left[ { - 1,4} \right]\)

B.\(\left[ {0,\frac{5}{3}} \right]\)

C.\(\left[ { - 1,0} \right] \cup \left[ {\frac{5}{3},4} \right]\)

D.\(\left[ { - 1,0} \right) \cup \left( {\frac{5}{3},4} \right]\)

参考答案：C

第87题

参考答案：\( \left\{a|-2\le a\le \frac{6}{5}\right\}\)

第88题

参考答案：∵命题\(p\)的否定为真命题，

命题\(p\)的否定为：\(\exists 1 \leqslant x \leqslant 2\)，\( x>{a}^{2}+1\)，

∴\({a^2} + 1 < 2\)，

∴\( - 1 < a < 1\)．

第89题

参考答案：若命题\(p\)为真命题，则\({a^2} + 1 \geqslant 2\)，即\(a \geqslant 1\)或\(a \leqslant - 1\)．

∵命题\(q\)的否定为真命题，

∴“\(\forall 1 \leqslant x \leqslant 2\)，一次函数\(y = x + a\)的图象在\(x\)轴及\(x\)轴上方”为真命题．

∴\(1 + a \geqslant 0\)，即\(a \geqslant - 1\)．

∴实数\(a\)的取值范围为\(\left[ {1, + \infty } \right) \cup \left\{ { - 1} \right\}\)．

第90题

参考答案：(1)命题为存在量词命题，假命题

(2)命题为全称量词命题，真命题

(3)命题为全称量词命题，假命题

(4)命题为存在量词命题，假命题

第91题

A.\(\forall n∈N，{n}^{2}≤2n+5\). 真

B.\(\forall n∈N，{n}^{2}≤2n+5\). 假

C.\(\forall n∈N，{n}^{2}>2n+5\). 假

D.\(\exists n∈N，{n}^{2}>2n+5\). 真

参考答案：B

第92题

参考答案：\( - \frac{\pi }{3}⩽\frac{{\alpha - \beta }}{3} < 0\)

第93题

A.若 \(a > b\) ，则 \(a{c^2} > b{c^2}\)

B.若 \(\frac{a}{{{c^2}}} > \frac{b}{{{c^2}}}\) ，则 \(a > b\)

C.若 \({a^3} > {b^3}\) ，则 \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

D.若 \({a^2} > {b^2}\) ， \(ab > 0\) ，则 \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

参考答案：B

第94题

参考答案：\( - 2 \leqslant a \leqslant 3\)，\( - \frac{7}{2} \leqslant b \leqslant \frac{3}{2}\)；

第95题

参考答案：\( - 4 \leqslant 3a - 2b \leqslant 11\)．

第96题

参考答案：\(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2} \leqslant f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)\)

第97题

参考答案：当 \(a = b\) 时 \({a^a}{b^b} = {a^b}{b^a}\) ；当 \(a \ne b\) 时 \({a^a}{b^b} > {a^b}{b^a}\) ．

第98题

A.\(a > b\)

B.\(a \geqslant b\)

C.\(a \leqslant b\)

D.\(a < b\)

参考答案：C

第99题

参考答案：\(\sqrt a + \sqrt b \leqslant \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }}\)．详细过程见解析视频

第100题

参考答案：\(\frac{9}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}}\) 的最小值为 \(\frac{8}{3}\) ，此时 \(a = \frac{7}{2},b = \frac{1}{2}\) ．