已知函数\( f\left(x\right)\)的导函数为\({f}^{\, '}\left ( {x} \right )\)，若存在\( {x}_{0}\)，使得\(f\left ( {{x}_{0}} \right )={f}^{\, '}\left ( {{x}_{0}} \right )\)，则称\( {x}_{0}\)是\( f\left(x\right)\)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）

A.\( f\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

B.\( f\left(x\right)={x}^{2}\)

C.\( f\left(x\right)={e}^{-x}\)

D.\( f\left(x\right)=\mathrm{ln}x\)

参考答案：ABD

第267题

下列结论正确的个数为（）

①若\( y=\mathrm{ln}2\)，则\({y}^{，}=\frac {1} {2}\)；

②若\( f\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}}\)，则\({f}^{\, '}\left ( {3} \right )=-\frac {2} {27}\)；

③若\( y={2}^{x}\)，则\({y}^{，}=x\cdot {2}^{x-1}\)；

④若\( y={\mathrm{log}}_{2}x\)，则\({y}^{，}=\frac {1} {x\mathrm{ln}2}\)；

A.1

B.2

C.3

D.4

参考答案：B

第268题

已知函数\( f\left(x\right)={3}^{x}\)，则\( \underset{∆x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f(1+\Delta x)-f\left(1\right)}{\Delta x}=\)（）

A.\( \frac{3}{\mathrm{ln}3}\)

B.\( -\frac{3}{\mathrm{ln}3}\)

C.\( 3\mathrm{ln}3\)

D.\( -3\mathrm{ln}3\)

参考答案：C

第269题

设\({f}^{\, '}\left ( {x} \right )\)是函数\( f\left(x\right)\)的导数，若\( f\left(x\right)=\mathrm{sin}x\)，记\({f}_{1}\left ( {x} \right )={f}^{\, '}\left ( {x} \right )\)，\({f}_{2}\left ( {x} \right )={f}^{\, '}_{1}\left ( {x} \right )\)，\({f}_{3}\left ( {x} \right )={f}^{\, '}_{2}\left ( {x} \right )\)，…，\({f}_{n+1}\left ( {x} \right )={f}^{\, '}_{n}\left ( {x} \right )(n\in {N}^{*})\)，则\( {f}_{2022}\left(x\right)=\)___

参考答案：\( -\mathrm{sin}x\)

第270题

直线\( y=\frac{1}{2}x+b\)能作为下列函数\( y=f\left(x\right)\)的切线的有___（写出所有正确的函数的序号）

①\( f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) ②\( f\left(x\right)=\mathrm{ln}x\) ③\( f\left(x\right)=\mathrm{sin}x\) ③\( f\left(x\right)=-{e}^{x}\)

参考答案：②③

第271题

若 \( f\left(x\right)\) 在 \((1，+\infty )\) 上不单调，求\(a\)的取值范围；

参考答案：\( f\text{'}\left(x\right)=\frac{a}{x}+2x=\frac{2{x}^{2}+a}{x}\left(x>0\right)\) ．若 \( f\left(x\right)\) 在 \((1，+\infty )\) 上单调，则 \( f\text{'}\left(x\right)\ge 0\) 在 \((1，+\infty )\) 上恒成立，

所以 \( 2{x}^{2}+a\ge 0\) 在 \((1，+\infty )\) 上恒成立，所以 \( 2+a\ge 0\) ，即 \( a\ge -2\) ．

因为 \( f\left(x\right)\) 在 \((1，+\infty )\) 上不单调，所以\(a\)的取值范围是 \((-\infty ，-2)\) ．

第272题

若 \( f\left(x\right)\) 的最小值为 \( -2\) ，求\(a\)．

参考答案：\( {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{a}{x}+2x=\frac{2{x}^{2}+a}{x}\left(x>0\right)\) ．

①若 \( a\ge 0\) ，则 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)>0\) ，\( f\left(x\right)\) 在 \((0，+\infty )\) 上单调递增，此时 \( f\left(x\right)\) 无最值．

②若 \( a<0\)，令 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\) ，得 \(x = \pm \sqrt { - \frac{a}{2}} \)．

当 \(x\in \left ( {0，\sqrt {-\frac {a} {2}}} \right )\) 时，\( f\text{'}\left(x\right)<0\)；当 \(x\in \left ( {\sqrt {-\frac {a} {2}}，+\infty } \right )\) 时，\( f\text{'}\left(x\right)>0\)．

所以 \( f\left(x\right)\) 在 \(\left ( {0，\sqrt {-\frac {a} {2}}} \right )\) 上单调递减，在 \(\left ( {\sqrt {-\frac {a} {2}}，+\infty } \right )\) 上单调递增．

所以 \( f\left(x\right)\) 的最小值是 \( f\left(\sqrt{-\frac{a}{2}}\right)=a\mathrm{ln}\sqrt{-\frac{a}{2}}-\frac{a}{2}-3=-2\) ，则 \( \frac{a}{2}\mathrm{ln}\left(-\frac{a}{2}\right)-\frac{a}{2}-1=0\)．

令 \( g\left(x\right)=-x\mathrm{ln}x+x-1\)，则 \( g\text{'}\left(x\right)=-x\mathrm{ln}x\)，所以 \( g\left(x\right)\) 在 \(\left ( {0，1} \right )\) 上单调递增，在 \((1，+\infty )\) 上单调递减．

因为 \( g\left(1\right)=0\) ，所以方程 \( g\left(x\right)=0\) 只有一个根 \( x=1\) ．由 \( -\frac{a}{2}=1\) ，得 \( a=-2\) ，即\(a\)的值为\(-2\)

第273题

若函数 \( f\left(x\right)=\left({x}^{2}+ax+5\right){e}^{x}\) 在 \( \left[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}\right]\) 上单调递增，则实数 \( a\) 的取值范围是___

参考答案：\( a\ge -4\)

第274题

已知函数 \( f\left(x\right)=x(\mathrm{ln}x{)}^{2}+x\) ，则（）

A.\( f\left(x\right)\) 在区间 \((0，+\infty )\) 上单调递增

B.当 \( x=\frac{1}{e}\) 时，\( f\left(x\right)\) 取最小值

C.对 \(\forall x\in \left ( {\frac {1} {e}，+\infty } \right )，m>0，g\left ( {x} \right )=f\left ( {x+m} \right )-f\left ( {x} \right )\) 为增函数

D.对 \(\forall x\in \left ( {1，+\infty } \right )\) 都有 \( f\left(x\right)\le {x}^{3}\)

参考答案：ACD

第275题

若函数 \(f\left ( {x} \right )=ax+\cos {x}\) 在 \(\left ( {-\infty ，+\infty } \right )\) 上单调递增，则实数\(a\)的取值范围是（　　）

A.\(\left ( {-1，1} \right )\)

B.\(\left . {[1，+\infty } \right )\)

C.\(\left ( {-1，+\infty } \right )\)

D.\(\left ( {-1，0} \right )\)

参考答案：B

第276题

已知函数 \( y=x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\) 的图象如下图所示，其中 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)\) 是函数\(f\left ( {x} \right )\)的导函数，函数\(y=f\left ( {x} \right )\)的图象大致是图中的（）

参考答案：C

第277题

“\( a\le -\frac{1}{2}\)”是“函数\( f\left(x\right)=x\left({e}^{x}-a\right)\)为增函数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：A

第278题

声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．已知刻画某声音的函数为\(y=\sin {x+\frac {1} {2}}\sin {2x}+\frac {1} {3}\sin {3x}\)，则其部分图象大致为（）

参考答案：C

解析：

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

第279题

已知定义在 \({\rm{R}}\) 上的函数\(f\left( x \right)\)，其导函数为 \({f^\prime }(x)\) .若 \(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right) - \cos x\) ，且当\(x \leqslant 0\)时，\(f'(x) - \frac{1}{2}\sin x > 0\) ，则不等式 \(f\left( {\pi - x} \right) > f\left( x \right) + \cos x\) 的解集为（）

A.\(\left( { - \infty ,\frac{\pi }{2}} \right)\)

B.\(\left( {\frac{\pi }{2}, + \infty } \right)\)

C.\(\left( { - \infty ,\pi } \right)\)

D.\(\left( {\pi , + \infty } \right)\)

参考答案：A

第280题

已知函数 \(f\left( x \right) = \ln \left( {\sqrt {4{x^2} + 1} + 2x} \right) + {x^3}\) ， \(g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right)\) ．若实数\(a，b\)(\(a，b\)均大于1) 满足\(g\left( {3b - 2a} \right) + g\left( { - 2 - a} \right) > 0\) ，则下列说法正确的是( )

A.函数 \(f\left( x \right)\) 在R上单调递增

B.函数 \(f\left( x \right)\) 在R上单调递增

C.函数 \(g\left( x \right)\) 的图象关于 \(\left( {1,0} \right)\) 中心对称

D.\({{\rm{e}}^{a - b}} > \frac{b}{a}\)

参考答案：AD

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高中数学选择性必修 第二册(381题)

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