高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：\( {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{a}{x}+2x=\frac{2{x}^{2}+a}{x}\left(x>0\right)\) ．

①若 \( a\ge 0\) ，则 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)>0\) ，\( f\left(x\right)\) 在 \((0，+\infty )\) 上单调递增，此时 \( f\left(x\right)\) 无最值．

②若 \( a<0\)，令 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\) ，得 \(x = \pm \sqrt { - \frac{a}{2}} \)．

当 \(x\in \left ( {0，\sqrt {-\frac {a} {2}}} \right )\) 时，\( f\text{'}\left(x\right)<0\)；当 \(x\in \left ( {\sqrt {-\frac {a} {2}}，+\infty } \right )\) 时，\( f\text{'}\left(x\right)>0\)．

所以 \( f\left(x\right)\) 在 \(\left ( {0，\sqrt {-\frac {a} {2}}} \right )\) 上单调递减，在 \(\left ( {\sqrt {-\frac {a} {2}}，+\infty } \right )\) 上单调递增．

所以 \( f\left(x\right)\) 的最小值是 \( f\left(\sqrt{-\frac{a}{2}}\right)=a\mathrm{ln}\sqrt{-\frac{a}{2}}-\frac{a}{2}-3=-2\) ，则 \( \frac{a}{2}\mathrm{ln}\left(-\frac{a}{2}\right)-\frac{a}{2}-1=0\)．

令 \( g\left(x\right)=-x\mathrm{ln}x+x-1\)，则 \( g\text{'}\left(x\right)=-x\mathrm{ln}x\)，所以 \( g\left(x\right)\) 在 \(\left ( {0，1} \right )\) 上单调递增，在 \((1，+\infty )\) 上单调递减．

因为 \( g\left(1\right)=0\) ，所以方程 \( g\left(x\right)=0\) 只有一个根 \( x=1\) ．由 \( -\frac{a}{2}=1\) ，得 \( a=-2\) ，即\(a\)的值为\(-2\)