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高中数学选择性必修第一册(264题)

第181题

已知椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)经过点\(P\left( {m,n} \right)\)，则\({m^2} + {n^2}\)的取值范围是\((\quad )\)

A.\(\left( {0,1} \right]\)

B.\(\left( {0,4} \right]\)

C.\(\left[ {4, + \infty } \right)\)

D.\(\left[ {1,4} \right]\)

参考答案：D

第182题

椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{7}{\rm{ + }}\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ = }}1\)，过原点O斜率为\(\sqrt 3 \)的直线与椭圆交于C，D，若\(|CD| = 4\)，求椭圆的标准方程.

参考答案：\(\frac{{{x^2}}}{7}{\rm{ + }}\frac{{2{y^2}}}{7}{\rm{ = }}1\)

第183题

已知椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1\)与直线\(y = x + m\)交于A，B两点，且\(|AB| = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)，则实数\(m\)的值为 ___。

参考答案：\( \pm 1\)

第184题

直线\(y = 2x\)被椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)截得的弦长是\((\quad )\)。

A.\(\frac{{4\sqrt {10} }}{3}\)

B.\(\frac{{4\sqrt {10} }}{9}\)

C.\(\frac{{2\sqrt {10} }}{3}\)

D.\(\frac{{16}}{9}\)

参考答案：A

第185题

在椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)中，以点\(M\left( {2,\frac{3}{2}} \right)\)为中点的弦所在的直线方程为\((\quad )\)

A.\(3x + 4y = 0\)

B.\(3x - 4y = 0\)

C.\(3x + 4y - 12 = 0\)

D.\(3x - 4y + 12 = 0\)

参考答案：C

第186题

已知椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}{\rm{ + }}\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ = }}1\left( {a > {\rm{b}} > {\rm{0}}} \right)\)的一条弦所在的直线方程是\(x - y{\rm{ + }}5{\rm{ = }}0\)，弦的中点横坐标是-4，则椭圆的离心率是___。

参考答案：\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

第187题

设直线l经过椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)的右焦点且倾斜角为\(45^\circ \)，若直线\(l\)与椭圆相交于A，B两点，求弦长\(|AB|\)。

参考答案：\(\frac{8}{5}\)

第188题

椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)上一动点\(P\)到两个焦点\({F_1}\)，\({F_2}\)的距离之积为\(q\)，则\(q\)取最大值时，\(\Delta P{F_1}{F_2}\)的面积为\((\quad )\)。

A.\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B.1

C.\(\sqrt 3 \)

D.2

参考答案：C

第189题

已知\({F_1}\)、\({F_2}\)分别为椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ + }}{y^2}{\rm{ = }}1\)的左、右两个焦点，过\({F_1}\)作倾斜角为\(\frac{\pi }{{\rm{4}}}\)的弦AB，则\(\Delta {F_2}AB\)的面积为___。

参考答案：\(\frac{4}{3}\)

第190题

已知椭圆\(C:\frac {{x}^{2}} {{a}^{2}}+\frac {{y}^{2}} {{b}^{2}}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)，过右焦点\(F\)且倾斜角为\(\frac{\pi }{{\rm{4}}}\)的直线与椭圆\(C\)形成的弦长为\(\frac{8}{5}\)，且椭圆\(C\)上存在4个点\(M\)，\(N\)，\(P\)，\(Q\)构成矩形，则矩形\(MNPQ\)面积的最大值为___。

参考答案：4

第191题

已知过椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1\)的一个焦点作倾斜角为\(45^\circ \)的直线l交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，设\(O\)为坐标原点，则\(\overrightarrow {{\rm{OA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{OB}}} \)等于\((\quad )\)。

A.\( - 3\)

B.\( - \frac{1}{3}\)

C.\( - \frac{1}{3}\)或\( - 3\)

D.\( \pm \frac{1}{3}\)

参考答案：B

第192题

若点\(O\)和点\(F\)分别为椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)的中心和左焦点，点\(P\)为椭圆上的任意一点，则\(\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} \)的最大值为___。

参考答案：6

第193题

已知椭圆\(C:\frac {{x}^{2}} {{a}^{2}}+\frac {{y}^{2}} {{b}^{2}}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\({F_1}\)，\({F_2}\)，过\({F_2}\)的直线与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，设线段\(N{F_1}\)的中点\(D\)，若\(\overrightarrow {MD} \cdot \overrightarrow {N{F_1}} = 0\)，且\(\overrightarrow {M{F_1}} //\overrightarrow {D{F_2}} \)，则椭圆\(C\)的离心率为___。

参考答案：\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

第194题

已知椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(0 < b < 2)\)的左、右焦点分别为\({F_1}\)，\({F_2}\)，直线\(l\)过\({F_2}\)且与椭圆相交于不同的两点\(A\)，\(B(A\)、\(B\)不在\(x\)轴上\()\)，那么\(\Delta AB{F_1}\)的周长\((\quad )\)

A.是定值4

B.是定值8

C.不是定值，与直线\(l\)的倾斜角大小有关

D.不是定值，与\(b\)取值大小有关

参考答案：B

第195题

设点Q是椭圆C：\(\frac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1\)上除长轴两端点外的任意一点，则在x轴上存在两定点A，B，使得直线QA，QB的斜率之积为定值，该定值为___。

参考答案：\( - \frac{1}{2}\)

第196题

已知椭圆\(C:\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)上的两个动点\(P\)，\(Q\)，设\(P({x_1},{y_1})\)，\(Q({x_2},{y_2})\)，且\({x_1} + {x_2} = 2.\)线段\(PQ\)的垂直平分线经过一个定点，求定点坐标.