第301题

如图，已知：EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.求证∠B＝∠D.

参考答案：见解析

解析：

证明：∵∠BCE＝∠DCA，

∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE，

即∠ACB＝∠ECD.

在△ACB和△ECD中，

∴△ACB≌△ECD(ASA)．

∴∠B＝∠D.

第302题

如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为(－3，2)．请按要求分别完成下列各题：

(1)把△ABC向下平移7个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；

参考答案：见解析

解析：

解：(1)略．

(2)略．

(3)S_△ABC＝2×3－2(1)×2×1－2(1)×1×2－2(1)×1×3＝6－1－1－2(3)＝2(5).

第303题

如图，在△ABC中，AB＝BC ，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.

(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；

参考答案：见解析

解析：

(1)解：∵∠AFD＝155°，

∴∠DFC＝25°.

∵DF⊥BC，DE⊥AB，

∴∠FDC＝∠AED＝90°.

∴∠C＝180°－90°－25°＝65°.

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝65°.

∴∠EDF＝360°－65°－155°－90°＝50°.

(2)证明：如图，连接BF.

(第24题)

∵AB＝BC，且点F是AC的中点，

∴BF⊥AC, ∠ABF＝∠CBF＝2(1)∠ABC.

∴∠CFD＋∠BFD＝90°.

∵FD⊥BC，

∴∠CBF＋∠BFD＝90°，

∴∠CFD＝∠CBF.

∴∠CFD＝2(1)∠ABC.

第304题

某文具店老板第一次用1 000元购进了一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2 500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元．

(1)问第二次购进了多少件文具？

参考答案：见解析

解析：

解：(1)设第一次购进了x件文具．

依题意，得－2.5.

解得x＝100.

经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．

则2x＝2×100＝200.

答：第二次购进了200件文具．

(2)[100(1－3%)＋200(1－5%)]×15－1 000－2 500＝805(元)．

答：文具店老板在这两笔生意中盈利，盈利805元．

第305题

如图，已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

(1)如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．

参考答案：见解析

解析：

(1)证明：如图，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则∠OEB＝∠OFC＝90°.

(第26(1)题)

∵点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形．

(2)证明：如图，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则∠OEB＝∠OFC＝90°.

(第26(2)题)

∵点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠ABO＝∠ACO.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

(3)解：AB＝AC不一定成立．

理由：当∠BAC的平分线所在直线和BC的垂直平分线重合时，如图①，过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，则∠OEB＝∠OFC＝90°.

∵点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠EBO＝∠FCO.

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠ABC＝180°－(∠OBC＋∠EBO)，

∠ACB＝180°－(∠OCB＋∠FCO)，

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

(第26(3)题)

当∠BAC的平分线所在直线和BC的垂直平分线不重合时，如图②，∠ABC和∠ACB不相等，∴AB≠AC.

综上，AB＝AC不一定成立．