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高中数学必修第二册(415题)

第61题

已知\({\rm{a}} = (1{\rm{ }},{\rm{ }}2)\)，\({\rm{b}} = (\lambda {\rm{ }},{\rm{ }}3)\)，向量\({\rm{a}}\)与向量\({\rm{b}}\)夹角为锐角，则的取值范围为

参考答案：\(( - 6{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}{\rm{ }},{\rm{ }} + \infty )\)

第62题

若当\(x = 2\)时，\(\angle BAC = \frac{{\rm{\pi }}}{2}\)，则实数\(m\)的值为

参考答案：\(m = - 2\)

第63题

若存在正数x，使得\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AC}\)共线，则实数m的取值范围是　　．

参考答案：\(( - \infty {\rm{ }},{\rm{ }}0) \cup [2{\rm{ }},{\rm{ }} + \infty )\)

第64题

已知\(C(3,5)\)，若四边形\(OABC\)为平行四边形，求\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{BC}\)夹角的余弦值；

参考答案：\(-\frac {5\sqrt {34}} {34}\)

第65题

若\(M(t,k\sin {θ})(0\leq θ\leq \frac {\pi } {2}\, )\) ，且向量\(\overrightarrow{AM}\)与向量\(a\)共线，令 \(f(θ)=t\sin {θ}\)，当 \(k>4\)，且\(f(θ)\)取最大值为4时，求 \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)．

参考答案：32

第66题

若\(\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}\)，求\(\frac {1} {m+1}+\frac {1} {n}\) 的最小值；

参考答案：\(\frac {1} {2}+\frac {\sqrt {2}} {3}\)

第67题

若\(\overrightarrow{OB}\)与 \(\overrightarrow{OC}\)的夹角不超过45°，求\(\frac {n} {m}\)的取值范围．

参考答案：\((0,\frac {1} {3}]\)

第68题

下面有三个命题：

①若\(\overrightarrow {OA} = \left( {3{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\, - 4} \right)\)，\(\overrightarrow {OB} = \left( {6{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\, - 3} \right)\)，\(\overrightarrow {OC} = \left( {5 - m{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\,3 - m} \right)\)，\(\angle ABC\)为锐角，则实数\(m\)的取值范围是\(m > \frac{3}{4}\)；

②点\(O\)在\(\vartriangle ABC\)所在的平面内，若\(\overrightarrow {OA} {\rm{ }}\bullet {\rm{ }}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} {\rm{ }}\bullet {\rm{ }}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} {\rm{ }}\bullet {\rm{ }}\overrightarrow {OC} \)，则点\(O\)为\(\vartriangle ABC\)的垂心；

③已知O为△\(ABC\)内部一点，且\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \sqrt 2 \overrightarrow {OC} = {\rm{0}}\)，\(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = 1\)，则\(\vartriangle ABC\)的面积为\(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\)．

其中真命题的序号是___．

参考答案：②③

第69题

已知在平面直角坐标系中，\(A(1{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\,1)\)，\(B(3{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\,2)\)，\(C(4{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\,4)\)，\(D(2{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\,3)\)，则四边形\(ABCD\)是（）．

A.菱形

B.矩形

C.直角梯形

D.等腰梯形

参考答案：A

第70题

已知非零向量\(\overrightarrow {AB} \)与\(\overrightarrow {AC} \)满足\((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ){\rm{ }}\bullet {\rm{ }}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ) = 0\)，且\(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{|\overrightarrow {AB} |}}{\rm{ }}\bullet {\rm{ }}\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AC} |}} = \frac{1}{2}\)，则\(\vartriangle ABC\)为（）．

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

参考答案：D

第71题

如图，无弹性细绳\(OA\)，\(OB\)的一端分别固定在房顶的\(A\)处，与墙壁的\(B\)处，同样的细绳\(OC\)下端系着一个重物，所受的拉力是\(4{\rm{ N}}\)，此时\(\angle AOB = 120^\circ \)，\(OB \bot OC\)，则细绳\(OA\)受到房顶的拉力是多少？

参考答案：\(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ N}}\)

第72题

如图，物体受到一个水平向右的力\({F_1}\)及与它成\(60^\circ \)角的另一个力\({F_2}\)的作用.已知\({F_1}\)的大小为\(2{\rm{ N}}\)，它们的合力\(F\)与水平方向成\(30^\circ \)角，则\({F_2}\)的大小为（）．

A.\(3{\rm{ N}}\)

B.\(\sqrt 3 {\rm{ N}}\)

C.\(2{\rm{ N}}\)

D.\(\frac{1}{2}{\rm{ N}}\)

参考答案：C

第73题

如图，在倾角\(30^\circ \)，高\(2{\rm{ m}}\)的坡面上，有一个质量为\(3{\rm{ kg}}\)的物体沿坡面下滑，物体受到的摩擦力大小是它对坡面压力大小的\(\frac{1}{3}\).若重力加速度\(g = 10{\rm{ N/kg}}\)，求物体从坡顶\(B\)处滑落到坡低\(A\)处的过程中，物体所受各力对物体所做的功分别是多少？

参考答案：重力、支持力和摩擦力在下滑的过程所做的功分别为\(60{\rm{ J}}\)，\(0{\rm{ J}}\)和\( - 20\sqrt 3 {\rm{ J}}\).

第74题

在\(\vartriangle ABC\)中，\(BC = 2{\rm{ }}\,,{\rm{ }}AC = \frac{3}{2}BC{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\cos C = \frac{1}{4}\)，则\(AB = \)___．

参考答案：\(\sqrt {10} \)

第75题

在\(\vartriangle ABC\)中，\(B = 45^\circ \)，\(BC\)边上的高线\(AD = \frac{1}{3}BC\)，则\(\cos \angle BAC = \)___．

参考答案：\( - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

第76题

\(\vartriangle ABC\)的三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对边的长分别为\(a\)，\(b\)，\(c\).设向量\(\overrightarrow {MN} = \left( {a + c{\rm{ }}\,,{\rm{ }}b} \right)\)，\(\overrightarrow {PQ} = \left( {b{\rm{ + }}a{\rm{ }}\,,{\rm{ }}c - a} \right)\)．若\(\overrightarrow {MN} {\rm{//}}\overrightarrow {PQ} \)，则角\(C\)的大小为（）．

A.\(\frac{\pi }{6}\)

B.\(\frac{{\rm{\pi }}}{3}\)

C.\(\frac{{\rm{\pi }}}{2}\)

D.\(\frac{{2{\rm{\pi }}}}{3}\)

参考答案：D

第77题

已知锐角三角形的三边长分别为1，2，\(m\)，则实数\(m\)的取值范围是（）．

A.\(\left( {1{\rm{ }}\,,{\rm{ }}3} \right)\)

B.\((\sqrt 3 {\rm{ }}\,,{\rm{ }}\sqrt 5 )\)

C.\(\left( {2{\rm{ }}\,,{\rm{ }}\sqrt 5 } \right)\)

D.\(\left( {2{\rm{ }}\,,{\rm{ }}4} \right)\)

参考答案：B

第78题

如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AB\)||\(CD\)，\(AB=33\)，\(CD=21\)，\(AD=14\)，\(BC=10\),则对角线\(BD=\)___．

参考答案：25

第79题

\(\vartriangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a，b，c\).若\((a+b+c)(a-b+c)=3ac\)，\(2\cos C\sin A = \sin B\)，则\(\vartriangle ABC\)为（）．

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

参考答案：A

第80题

若满足\(\angle ABC = \frac{{\rm{\pi }}}{3}\)，\(AC = \sqrt 3 \)，\(BC = m\)的\(\vartriangle ABC\)恰有一解，则实数\(m\)的取值范围是（）．

A.\((0{\rm{ }},{\rm{ }}\sqrt 3 ] \cup \{ 2\} \)

B.\((0{\rm{ }},{\rm{ }}\sqrt 3 )\)

C.\((0{\rm{ }},{\rm{ }}2)\)

D.\((0{\rm{ }},{\rm{ }}2]\)

参考答案：A

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