初中数学八年级上册试题库（555题）

---

一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出\( \frac{1}{2}\)L水，第2次倒出的水量是\( \frac{1}{2}\)L的\( \frac{1}{3}\)，第3次倒出的水量是\( \frac{1}{3}\)L的\( \frac{1}{4}\)，第4次倒出的水量是\( \frac{1}{4}\)L的\( \frac{1}{5}\)……第n次倒出的水量是\( \frac{1}{n}\)L的\( \frac{1}{n+1}\)……按照这种倒水方法，这1L水经过多少次可以倒完？

知识点：第十五章　分式

参考答案：倒n次水时，倒出的总水量可以表示为：\( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\)①\( \because \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\)所以\( \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)②利用②式规律（我们称之为裂项法），将①式改写为\( \frac{1}{2}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\)③去掉③式中括号，将相反数合并得到①=③=\( 1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}<1\)可以发现，随着倒水次数n的增加，倒出水量\( \frac{n}{n+1}\)始终小于1，但是不断增加.综上所述，按照这种方法倒水，容器中的1L水是倒不完的。