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如图，要利用一半径为 \(5cm\) 的圆形纸片制作三棱锥形包装盒.已知该纸片的圆心为 \(O\) ，先以 \(O\) 为中心作边长为 \(2x\)（单位：\({\rm{cm}}\)）的等边三角形 \(ABC\) ，再分别在圆 \(O\) 上取三个点\(D\)， \(E\) ， \(F\) ，使 \(\vartriangle DBC\) ， \(\vartriangle ECA\) ， \(\vartriangle FAB\) 分别是以 \(BC\) ， \(CA\) ， \(AB\) 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 \(BC\) ， \(CA\) ， \(AB\) 为折痕折起 \(\vartriangle DBC\) ， \(\vartriangle ECA\) ， \(\vartriangle FAB\) ，使得 \(D\) ， \(E\) ， \(F\) 重合于点 \(P\) ，即可得到正三棱锥 \(P - ABC\) .
若三棱锥 \(P - ABC\) 是正四面体，求 \(x\) 的值；
参考答案：
\(x = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\)
连结 \(OD\) ，交 \(BC\) 于点 \(G\) ，连结 \(OC\) ，
在 \(\vartriangle GOC\) 中， \(GC = x\) ， \(GO = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\) ，
则 \(GD = 5 - \frac{x}{{\sqrt 3 }}\) .
因为三棱锥 \(P - ABC\) 是正四面体，
所以 \(\vartriangle DBC\) 是正三角形，
所以 \(GD = \sqrt 3 GC\) ，即 \(5 - \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 x\) ，解得 \(x = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\) .
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