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高中数学选择性必修 第二册（381题）
如图，已知\(A\)，\(B\) 两镇分别位于东西湖岸\(MN\) 的\(A\) 处和湖中小岛的\(B\)处，点\(C\)在\(A\)的正西方向\(1\text{km}\)处，\( \mathrm{tan}\mathrm{\angle }BAN=\frac{3}{4}\)，\(\angle BCN=\frac {\pi } {4}\) ，.现计划铺设一条电缆连通\(A，B\)两镇，有两种铺设方案：①沿线段\(AB\)在水下铺设；②在湖岸\(MN\)上选一点\(P\)，先沿线段\(AP\)在地下铺设，再沿线段\(PB\) 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.
应该如何铺设，使总铺设费用最低？
知识点：第五章 一元函数的导数及其应用
参考答案：见解析
解析：
点\(P\) 选在\(A\)镇的正西方向\(\left ( {4-\sqrt {3}} \right )\text{km}\)处，总铺设费用最低
方案①：沿线段\(AB\)在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20(万元)
方案②：设\(∠BPD＝θ\)，则 \(θ∈\left ( {{{\theta }_{o}},\frac {\pi } {2}} \right )\) ，其中 \({θ}_{0}＝∠BAN\).
在\(Rt△BDP\)中， \(DP=\frac {BD} {\tan {\theta }}=\frac {3} {\tan {\theta }}\) ， \(BP=\frac {BD} {\sin {\theta }}=\frac {3} {\sin {\theta }}\) ，
所以\(AP=4-DP=4-\frac {3} {\tan {\theta }}\) .
则总铺设费用为\(2AP＋4BP＝8-\frac {6} {\tan {\theta }}+\frac {12} {\sin {\theta }}=8+6\cdot \frac {2-\cos {\theta }} {\sin {\theta }}\)
设\(f(θ)=\frac {2-\cos {\theta }} {\sin {\theta }}\) ，则 \(f(θ)=\frac {{{\sin}^{2}}\theta -\left ( {2-\cos {\theta }} \right )\cos {\theta }} {{{\sin}^{2}}\theta }=\frac {1-2\cos {\theta }} {{{\sin}^{2}}\theta }\) ，
令\(f'(θ)=0\)，得 \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 即 \(θ=\frac {\pi } {3}\) ，列表如下：
所以\(f(θ)\)的最小值为 \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) .
所以方案②的总铺设费用最低为 \(8 + 6\sqrt 3 \) (万元)，此时 \(AP=4-\sqrt {3}\) .
而 \(8 + 6\sqrt 3 < 20\) ，所以应选择方案②进行铺设，点\(P\) 选在\(A\) 镇的正西方向\(\left ( {4-\sqrt {3}} \right )\text{km}\)处，总铺设费用最低．