如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥\({O_1} - ABCDEF\) 和 \({O_2} - ABCDEF\) 构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为\(1600\text{mm}\)，底面中心为 \(O\) ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点 \({O_2}\) 与天花板的距离为\(1300\text{mm}\)，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为 y ．

设\(∠{O}_{1}AO=\theta \left ( {\text{rad}} \right )\)，当角\(θ\)正弦值的大小是多少时，金属条总长\(y\)最小．

在直角三角形\(OA{O}_{1}\)中， \({O_1}A = \frac{{800}}{{\cos \theta }},O{O_1} = 800\tan \theta \) ， \({O_1}P = 1300 - 1600\tan \theta \) ，

由 \(O{O_1} = 800\tan \theta > 0,{O_1}P = 1300 - 1600\tan \theta > 0\) ，所以 \(0 < \tan \theta < \frac{{13}}{{16}}\) ，

所以\(θ\)的范围是 \(0 < \theta < \alpha \) ，其中 \(\tan \alpha = \frac{{13}}{{16}}\) ， \(\alpha \in （0,\frac{\pi }{2}）\) ．

从而有 \(y = 12{O_1}A + 6AB + {O_1}P\)\( = \frac{{12 \times 800}}{{\cos \theta }} + 6 \times 800 + 1300 - 1600\tan \theta \)

\( = \frac{{1600(6 - \sin \theta )}}{{\cos \theta }} + 6100\) ，

所以 \(y = \frac{{1600(6 - \sin \theta )}}{{\cos \theta }} + 6100\) ， \(\theta \in （0,\alpha ）\)（\(\tan \alpha = \frac{{13}}{{16}}\) ， \(\alpha \in （0,\frac{\pi }{2}）\)）．

令 \(g(\theta ) = \frac{{6 - \sin \theta }}{{\cos \theta }}\) ，所以 \(g'(\theta ) = \frac{{6\sin \theta - 1}}{{{{\cos }^2}\theta }}\) ，

令 \(y' = 0\) ，则 \(\sin \theta = \frac{1}{6}\) ，则 \(\theta = {\theta _0}(tan{\theta _0} = \frac{1}{{\sqrt {35} }})\) ．

当 \(\theta \in (0,{\theta _0})\) 时， \(y' < 0\) ；当 \(\theta \in ({\theta _0},\alpha )\) 时， \(y' > 0\) ．

函数 \(g(\theta )\) 的单调性与 \(\theta \) 关系列表如下：

故当角 \(\theta \) 满足 \(\sin \theta = \frac{1}{6}\) （ \(\tan \theta = \frac{{\sqrt {35} }}{{35}}\) ）时，金属条总长\(y\)最小．

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