高中数学选择性必修 第二册（381题）
定义：如果函数 \(f\left( x \right)\) 在 \(\left[ {a,b} \right]\) 上存在 \({x_1}\) ， \({x_2}\) （ \(a < {x_1} < {x_2} < b\) ），满足 \(f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = \frac{{f\left( a \right) - f\left( b \right)}}{{a - b}}\) ，则称 \({x_1}\) ， \({x_2}\) 为 \(\left[ {a,b} \right]\) 上的“对望数”.已知函数 \(f\left( x \right)\) 为 \(\left[ {a,b} \right]\) 上的“对望函数”.下列结论正确的是（ ）
A.函数 \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + n\) 在任意区间 \(\left[ {a,b} \right]\) 上都不可能是“对望函数”
B.函数 \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\) 是 \(\left[ {0,2} \right]\) 上的“对望函数”
C.函数\( \mathrm{f}\left(x\right)=x+\mathrm{sin}x\) 是 \(\left[ {\frac{\pi }{6},\frac{{11\pi }}{6}} \right]\) 上的“对望函数”
D.若函数 \(f\left( x \right)\) 为 \(\left[ {a,b} \right]\) 上的“对望函数”，则 \(f\left( x \right)\) 在 \(\left[ {a,b} \right]\) 上单调
知识点：第五章 一元函数的导数及其应用
参考答案：ABC
解析：
分析：根据“对望函数”的定义，代入具体函数依次判断，可判断A，B，C；若函数\(f\left( x \right)\)为\(\left[ {a,b} \right]\)上的“对望函数”，则\(f'\left( x \right) = 0\)在\(\left[ {a,b} \right]\)上必有两个不相等的实根，可判断D.
详解：对于A，因为\(f'\left( x \right) = 2x + m\)是单调递增函数，所以在\(\left[ {a,b} \right]\)上不可能存在\({x_1}\)，\({x_2}\)（\(a < {x_1} < {x_2} < b\)），满足\(f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right)\)，所以函数\(f\left( x \right) = {x^2} + mx + n\)在任意区间\(\left[ {a,b} \right]\)上都不可能是“对望函数”，故A正确；
对于B，\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x\)，\(\frac{{f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right)}}{{0 - 2}} = \frac{{2 - \frac{2}{3}}}{{ - 2}} = - \frac{2}{3}\)，令\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x = - \frac{2}{3}\)，得\({x_1} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\)，\({x_2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\)，且\(0 < {x_1} < {x_2} < 2\)，所以函数\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\)是\(\left[ {0,2} \right]\)上的“对望函数”，故B正确；
对于C，\(f'\left( x \right) = 1 + \cos x\)，\(\frac{{f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) - f\left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right)}}{{\frac{\pi }{6} - \frac{{11\pi }}{6}}} = 1 - \frac{3}{{5\pi }}\)，令\(f'\left( x \right) = 1 + \cos x = 1 - \frac{3}{{5\pi }}\)，得\(\cos x = - \frac{3}{{5\pi }}\)，因此存在\({x_1},{x_2} \in \left[ {\frac{\pi }{6},\frac{{11\pi }}{6}} \right]\)，使得\(f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = 1 - \frac{3}{{5\pi }}\)，所以函数\(f\left( x \right) = x + \sin x\)是\(\left[ {\frac{\pi }{6},\frac{{11\pi }}{6}} \right]\)上的“对望函数”，故C正确；
对于D，若函数\(f\left( x \right)\)为\(\left[ {a,b} \right]\)上的“对望函数”，则\(f'\left( x \right) = 0\)在\(\left[ {a,b} \right]\)上必有两个不相等的实根，则函数\(f\left( x \right)\)在\(\left[ {a,b} \right]\)上不单调，故D错误.
故选：ABC
