设函数\(f\left ( {x} \right )={e}^{2x}-a\mathrm{ln}x\) .
（I）讨论\(f\left ( {x} \right )\) 的导函数\(f'\left ( {x} \right )\)的零点的个数；
（II）证明：当\(a>0\)时\( \mathrm{f}\left(x\right)\ge 2a+a\mathrm{ln}\frac{2}{a}\).
解：（I） \( f\left(x\right)\) 的定义域为 \(\left ( {0，+\infty } \right ){，f}^{\, '}\left ( {x} \right )=2{e}^{2x}-\frac {a} {x}(x>0)\) .
当 \( a\)≤0 时， \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )>0，{f}^{\, '}\left ( {x} \right )\) 没有零点；
当 \( a>0\) 时，因为 \( {e}^{2x}\) 单调递增， \( -\frac{a}{x}\) 单调递减，所以 \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )\) 在 \( \left(0,+\infty \right)\) 单调递增，又 \({f}^{\, '}\left ( {a} \right )>0\) ，当\(b\)满足 \(0<b<\frac {a} {4}\) 且 \(b<\frac {1} {4}\) 时， \({f}^{\, '}\left ( {b} \right )<0\) ，故当 \( a\)＜0 时 \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )\) 存在唯一零点.
（II）由（I），可设 \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )\) 在 \( \left(0,+\infty \right)\) 的唯一零点为 \( {x}_{0}\) ，当 \( x\in \left(0，{x}_{0}\right)\) 时，\({f}^{\, '}\left ( {x} \right )<0\)；
当 \( x\in \left({x}_{0}，+\infty \right)\) 时， \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )>0\)，故 \( f\left(x\right)\) 在 \( \left(0，+\infty \right)\) 单调递减，在 \( \left({x}_{0}，+\infty \right)\) 单调递增，所以 \( x={x}_{0}\) 时， \( f\left(x\right)\) 取得最小值，最小值为 \( f\left({x}_{0}\right)\) .
由于 \( 2{e}^{2{x}_{0}}-\frac{a}{{x}_{0}}=0\) ，所以 \( f\left({x}_{0}\right)=\frac{a}{2{x}_{0}}+2a{x}_{0}+a\mathrm{ln}\frac{2}{a}\ge 2a+a\mathrm{ln}\frac{2}{a}\) .
故当\(a>0\)时，\( f\left(x\right)\ge 2a+a\mathrm{ln}\frac{2}{a}\).
