法一：证明：由题意，函数 \( g\left(x\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\mathrm{ln}x\right)+\frac{1}{{e}^{x}}\) ，且 \( g\left(2\right)>0\) ，
要证 \( g\left(x\right)\) 无零点，只需证明 \( g\left(x\right)>0\) ，只需证 \( \left(x-1\right)\left(1+\mathrm{ln}x\right)+\frac{x}{{e}^{x}}>0\) ，
即证 \( x\mathrm{ln}x+x-\mathrm{ln}x-1+\frac{x}{{e}^{x}}>0\) .
由（1）可知， \(\ln x + \frac{1}{{{\rm{e}}x}} \geqslant 0\) ，则 \( x\mathrm{ln}x\ge -\frac{1}{e}\) ，当且仅当 \( x=\frac{1}{e}\) 时，等号成立，
所以 \( x\mathrm{ln}x+x-\mathrm{ln}x-1+\frac{x}{{e}^{x}}\ge -\frac{1}{e}+x-\mathrm{ln}x-1+\frac{x}{{e}^{x}}\) .
构造函数 \( h\left(x\right)=\frac{x}{{e}^{x}}-\mathrm{ln}x+x-1-\frac{1}{e}\) ，则 \( {h}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)\left({e}^{x}-x\right)}{x{e}^{x}}\) ，
设 \(\phi \left ( {x} \right )={e}^{x}-x，x>0\) ，可得 \( {\phi }^{\text{'}}\left(x\right)={e}^{x}-1>0\) ， \( \phi \left(x\right)\) 单调递增，
所以 \( \phi \left(x\right)>\phi \left(0\right)=1>0\) ，所以 \( {e}^{x}-x>0\) ，
当 \(x\in \left ( {0，1} \right )\) 时， \( {h}^{\text{'}}\left(x\right)<0\) ， \( h\left(x\right)\) 单调递减；
当 \(x\in \left ( {1，+\infty } \right )\) 时， \( {h}^{\text{'}}\left(x\right)>0\) ， \( h\left(x\right)\) 单调递增，
故 \( h\left(x\right)\ge h\left(1\right)=0\) ，当且仅当 \( x=1\) 时，等号成立，
因为等号成立的条件不相同，所以 \( x\mathrm{ln}x+x-\mathrm{ln}x-1+\frac{x}{{e}^{x}}>0\) ，故 \( g\left(x\right)\) 无零点.
法二：证明：由题意，函数 \( g\left(x\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\mathrm{ln}x\right)+\frac{1}{{e}^{x}}\) ，且 \( g\left(2\right)>0\) ，
要证 \( g\left(x\right)\) 无零点，只需证明 \( g\left(x\right)>0\)
当 \(x\ge 1，\left ( {1-\frac {1} {x}} \right )\left ( {1+\mathrm{ln}x} \right )+\frac {1} {{e}^{x}}>0\) ；
当 \(0<x<1，1-\frac {1} {x}<0，\mathrm{ln}x<x-1，\frac {1} {{e}^{x}}>-x+1\) ，则 \( g\left(x\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\mathrm{ln}x\right)+\frac{1}{{e}^{x}}>(1-\frac{1}{x})(1+x-1)-x+1=0\)
