高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：\(f\left ( {x} \right )\) 的定义域为 \((0，+\infty )\) ，

\(f'(x) = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right){{\rm{e}}^x} - \frac{1}{x} + 1\)\( = \frac{1}{x}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right){{\rm{e}}^x} + \left( {1 - \frac{1}{x}} \right) = \frac{{x - 1}}{x}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{x} + 1} \right)\)

令 \(f(x) = 0\)，得 \(x = 1\)

当 \(x\in (0，1)，f'(x)<0，f(x)\) 单调递减

当 \(x\in (1，+\infty )，f'(x)>0，f(x)\) 单调递增 \(f(x) \geqslant f(1) = {\rm{e}} + 1 - a\) ，

若 \(f\left ( {x} \right )\geq 0\), 则 \({\rm{e}} + 1 - a \geqslant 0\)，即 \(a \leqslant {\rm{e}} + 1\)

所以 \(a\) 的取值范围为 \((-\infty ，e+1]\)

解析：