高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：由题意， \({f}^{\, '}\left ( {x} \right )={e}^{x}-ex\) ，

令 \(g\left ( {x} \right )={e}^{x}-ex\) ，则 \({g}^{\, '}\left ( {x} \right )={e}^{x}-e\) ，令 \(g'(x) = 0\) ，则 \(x = 1\) ，

故在区间 \((-\infty ，1)\) 上， \(g'(x) < 0\) ， \(g(x)\) 为减函数；

在区间 \((1，+\infty )\) 上， \(g'(x) > 0\) ， \(g(x)\) 为增函数，

∴ \(g{(x)_{\min }} = g(1) = 0\)，

故 \(f'\left( x \right) \geqslant f'(1) = 0\) ，故\(f\left ( {x} \right )\)在\(\text{R}\)上为增函数. \(f(1) = \frac{{\rm{e}}}{2}\) ，故由 \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 2f(1)\) ， \({x_1} < {x_2}\) ，

可得 \(f\left( {{x_1}} \right) < f(1) < f\left( {{x_2}} \right)\) ，则 \({x_1} < 1 < {x_2}\) .

欲证： \({x_1} + {x_2} < 2\) ，只需证： \({x_1} < 2 - {x_2}\) ，即证： \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {2 - {x_2}} \right)\) ，即证：\(e-f\left ( {{{x}_{2}}} \right )<f\left ( {2-{{x}_{2}}} \right )\) .

令\(F\left ( {x} \right )=f\left ( {x} \right )+f\left ( {2-x} \right )-e\left ( {x>1} \right )\)，则\({F}^{\, '}\left ( {x} \right )={f}^{\, '}\left ( {x} \right )+{f}^{\, '}\left ( {2-x} \right )={e}^{x}-ex-{e}^{2-x}+e\left ( {2-x} \right )\) ，

令 \(H(x) = F'(x)\) ，则 \({H}^{\, '}\left ( {x} \right )={e}^{x}-ex+{e}^{2-x}-e\) ，

故 \({F^\prime }(x)\) 为增函数， \(F'(x) > F'(1) = 0\) ，故 \(F(x)\) 为增函数， \(F(x) > F(1) = 0\) ，

故 \(F\left( {{x_2}} \right) > 0\) ，则\(e-f\left ( {{{x}_{2}}} \right )<f\left ( {2-{{x}_{2}}} \right )\)，∴ \({x_1} + {x_2} < 2\) .