高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：证明：当\( a>1\)时，\( f\left(x\right)=\frac{1}{2}a{x}^{2}+x-{e}^{x}\) ，则 \({f}^{'}\left ( {x} \right )=ax+1-{e}^{x}\)，

令 \(h\left ( {x} \right )={f}^{'}\left ( {x} \right )=ax+1-{e}^{x}\)，其中 \( x>0\)，则 \({h}^{'}\left ( {x} \right )=a-{e}^{x}=0\)，可得 \( x=\mathrm{ln}a>0\)，

当 \(0 < x < \ln a\) 时，\({h}^{'}\left ( {x} \right )>0\)，此时函数 \( h\left(x\right)\) 单调递增，

当 \(x > \ln a\) 时，\({h}^{'}\left ( {x} \right )<0\)，此时函数 \( h\left(x\right)\) 单调递减，

所以，\(h\left ( {x} \right )_{\text{max}}=h\left ( {\ln {a}} \right )=a\ln {a+1-a}\)，

令 \( p\left(a\right)=a\mathrm{ln}a+1-a\)，其中 \( a>1\) ，则 \({p}^{'}\left ( {a} \right )=\mathrm{ln}a>0\)，

所以，函数 \( p\left(a\right)\) 在 \(\left ( {1，+\infty } \right )\) 上单调递增，当 \( a>1\) 时， \( p\left(a\right)>p\left(1\right)=0\)，

所以， \({f}^{'}\left ( {x} \right )_{max}={f}^{'}\left ( {\ln {a}} \right )=a\ln {a}+1-a>0\) 且 \({f}^{'}\left ( {0} \right )=0\)，

由（1）知 \( {e}^{x}\ge x+1>x\) ，则当 \( x>1\) 时，\( {e}^{x}={e}^{\frac{x}{2}}\cdot {e}^{\frac{x}{2}}>\frac{{x}^{2}}{4}\) ， \({f}^{'}\left ( {x} \right )<ax+x-\frac {{x}^{2}} {4}\)，

当 \( x>4\left(a+1\right)\) 时， \({f}^{'}\left ( {x} \right )<0\) ，由 \( {e}^{x}>x\) ，得 \( x>\mathrm{ln}x\)， \( \therefore 4\left(a+1\right)>a>\mathrm{ln}a\)，

所以\(f\left ( {x} \right )\)存在极大值点\(m\in \left ( {\mathrm{ln}a，+\infty } \right )\)，

\(\because {f}^{'}\left ( {m} \right )=0\) ，故 \( am={e}^{m}-1\)，

\( \therefore 2f\left(m\right)=m\left({e}^{m}-1\right)+2m-2{e}^{m}=\left(m-2\right){e}^{m}+m\).

所以，要证 \( f\left(m\right)>\frac{m-3}{2}\) ，只要证 \( \left(m-2\right){e}^{m}+m>m-3\) ，即证 \( \left(m-2\right){e}^{m}+3>0\left(m>0\right)\).

令 \(φ\left ( {x} \right )=\left ( {x-2} \right ){e}^{x}+3\left ( {x>0} \right )\)，则 \({φ}^{'}\left ( {x} \right )=\left ( {x-1} \right ){e}^{x}\)，由 \({φ}^{'}\left ( {x} \right )=0\)，得 \( x=1\)，

当 \( 0<x<1\) 时， \({φ}^{'}\left ( {x} \right )<0\)，函数 \( \phi \left(x\right)\) 单调递减，

当 \( x>1\)时， \({φ}^{'}\left ( {x} \right )>0\)，函数 \(φ\left ( {x} \right )\) 单调递增，所以， \(φ\left ( {x} \right )\ge φ\left ( {1} \right )=3-e>0\)，

综上， \( f\left(m\right)>\frac{m-3}{2}\) 成立.