高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：由题意，当 \( a=1\) 时， \( f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-{e}^{x}\)，则 \( {f}^{\text{'}}\left(x\right)=x+1-{e}^{x}\)，

令 \( g\left(x\right)=x+1-{e}^{x}\)，则 \({g}^{'}\left ( {x} \right )=1-{e}^{x}\)，令 \({g}^{'}\left ( {x} \right )=0\)可得 \( x=0\)，列表如下：



所以， \({f}^{'}\left ( {x} \right )=g\left ( {x} \right )\le g\left ( {0} \right )=0\) ，且 \({f}^{'}\left ( {x} \right )\) 不恒为零，

所以，函数\(f\left ( {x} \right )\)在\( \mathit{R}\)上单调递减，且 \( f\left(0\right)=-1\)，

由 \( f\left(\mathrm{ln}x\right)>-1=f\left(0\right)\) 可得 \( \mathrm{ln}x<0\)，解得 \( 0<x<1\).

因此，当 \( a=1\) 时，不等式 \( f\left(\mathrm{ln}x\right)>-1\) 的解集为\(\left ( {0，1} \right )\).