高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：由（1）得\(f\left ( {x} \right )={e}^{x}-\mathrm{sin}x\)，\(f'\left ( {x} \right )={e}^{x}-\mathrm{cos}x\)，

令 \(g(x) = f'(x)\)，则 \(g'\left ( {x} \right )={e}^{x}+\mathrm{sin}x\) 在 \(\left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)\)上递增，

又\(g'\left ( {-\frac {\pi } {2}} \right )=\frac {1} {{e}^{\frac {\pi } {2}}}-1<0\) ， \(g'(0) = 1 > 0\)．

∴存在 \({x_0} \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)\) ，使得 \(g'\left( {{x_0}} \right) = 0\) ，即 \( {e}^{{x}_{0}}+\mathrm{sin}{x}_{0}=0\) ，

当 \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2},{x_0}} \right)\) 时， \(g'(x) < 0\) ， \(g(x)\) 递减：当 \(x \in \left( {{x_0},0} \right)\) 时， \(g'(x) > 0\) ， \(g(x)\) 递增，

∵ \(g(0) = 0\) ， \(\therefore g\left( {{x_0}} \right) < g(0) = 0\) ，∴当 \(x \in \left( {{x_0},0} \right)\) 时， \(g(x) < 0\) ， 即 \(f'\left ( {x} \right )<0\) ．

又 \(f'(0) = 0\) ，当 \(x \in (0, + \infty )\) 时，\(f'\left ( {x} \right )>0\)， \(\therefore x = 0\) 是 \(f\left ( {x} \right )\) 在 \(\left( {{x_0}, + \infty } \right)\) 内的极小值点．

∵当 \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2},{x_0}} \right)\) 时， \(g(x)\) 递减，即 \({f^\prime }(x)\) 递减， \(\therefore f(x)\) 在 \(\left( { - \frac{\pi }{2},{x_0}} \right)\) 内没有极小值点．

\(\therefore f(x)\) 在 \(\left( { - \frac{\pi }{2}, + \infty } \right)\) 的极小值是 \(f(0) = 1\) ．