高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：\(f'\left ( {x} \right )=3\left ( {{{x}^{2}}-a} \right )\)

①若 \(0 < a < 1\) ，\(x \in \left( { - 2, - \sqrt a } \right)\)， \(f'\left ( {x} \right )>0\) ， \(f\left( x \right)\) 单调递增

\(x \in \left( { - \sqrt a ,\sqrt a } \right)\)，\(f\prime \left( x \right) < 0\)，\(f\left( x \right)\) 单调递减，\(x \in \left( {\sqrt a ,1} \right)\)，\(f'\left ( {x} \right )>0\)， \(f\left( x \right)\) 单调递增

若 \(f{\left( x \right)_{\max }} = f\left( { - \sqrt a } \right) = 2a\sqrt a + 4 = 20\) ，得 \(a = 4\) （舍去）

若 \(f{\left( x \right)_{\max }} = f\left( 1 \right) = 5 - 3a = 20\) ，得 \(a = - 5\) （舍去）

②若 \(1 \leqslant a < 4\)， \(x \in \left( { - 2, - \sqrt a } \right)\) ，\(f'\left ( {x} \right )>0\)， \(f\left( x \right)\) 单调递增

\(x \in \left( { - \sqrt a ,1} \right)\)，\(f\prime \left( x \right) < 0\)，\(f\left( x \right)\) 单调递减

若 \(f{\left( x \right)_{\max }} = f\left( { - \sqrt a } \right) = 2a\sqrt a + 4 = 20\) ，得 \(a = 4\) （舍去）

③若 \(a \geqslant 4\) ，\(x \in \left( { - 2,1} \right)\)，\(f'\left ( {x} \right )<0\) ，\(f\left( x \right)\) 单调递减

若 \(f{\left( x \right)_{\max }} = f\left( { - 2} \right) = 6a - 4 = 20\) ，得 \(a = 4\) （满足）

综上所述： \(a = 4\)