高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：由题意得， \(f'\left( x \right) = 2\cos x - \frac{a}{x},(a > 0)\)，

因为函数 \(y = 2\cos x\)， \(y = - \frac{a}{x}\left( {a > 0} \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上均单调递增，

所以 \(f'\left( x \right) = 2\cos x - \frac{a}{x}\left( {a > 0} \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi }},2{\rm{\pi }}} \right)\) 上单调递增，

\(f'\left( {\rm{\pi }} \right) = - 2 - \frac{a}{{\rm{\pi }}} < 0\) ，

当 \(f'\left( {2{\rm{\pi }}} \right) = 2 - \frac{a}{{2{\rm{\pi }}}} > 0\) ，即 \(0 < a < 4{\rm{\pi }}\) 时，

\(f'\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上存在唯一的零点\(m\)，

则 \(f\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,}}m} \right)\) 上单调递减，在区间 \(\left( {m,2{\rm{\pi }}} \right)\) 上单调递增，

所以 \(f\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上只有1个极值点，且为极小值点，

当\(f'\left( {2{\rm{\pi }}} \right) = 2 - \frac{a}{{2{\rm{\pi }}}} \leqslant 0\) ，即 \(a \geqslant 4{\rm{\pi }}\) 时，\(f'\left( x \right) < 0\) 对 \(x \in \left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\)恒成立，

所以 \(f\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上单调递减，没有极值，即极值个数为0，

综合上述，当 \(0 < a < 4{\rm{\pi }}\) 时， \(f\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上极值点个数为1；

当 \(a \geqslant 4{\rm{\pi }}\) 时， \(f\left( x \right)\) 在区间 \(\left[ {{\rm{\pi ,2\pi }}} \right)\) 上极值点个数为0.