高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第五章 一元函数的导数及其应用

参考答案：（2）解：由题意，函数\(f\left( x \right) = x\sin x + \cos x + \frac{1}{2}a{x^2},x \in \left[ {0{\rm{,}}\pi } \right]\) ，可得 \(f'\left( x \right) = ax + x{\rm{cos}}x = x\left( {a + {\rm{cos}}x} \right)\)

当 \(a \geqslant 1\) 时，\(a + \cos x \geqslant 0\) 在 \([0,\pi ]\) 上恒成立，

所以 \(x \in [0,\pi ]\) 时，\(f'\left( x \right) \geqslant 0\) ，所以 \(f\left( x \right)\) 在 \([0,\pi ]\) 上单调递增.

又因为 \(f\left( 0 \right) = 1\) ，所以 f（x）在 \([0,\pi ]\) 上有0个零点.

当 \(0 < a < 1\) 时，令 \(f'\left( x \right) = 0\) ，可得 \({\rm{cos}}x = - a\).

由 \( - 1 < - a < 0\) 可知存在唯一的 \({x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2}{\rm{,}}\pi } \right)\) 使得 \({\rm{cos}}{x_0} = - a\) ，

所以当 \(x \in [0,{x_0})\) 时， \(f'\left( x \right) \geqslant 0\) ， \(f\left( x \right)\) 单调递增；

当 \(x \in \left( {{x_0}{\rm{,}}\pi } \right)\) 时， \(f'\left( x \right) < 0\) ， \(f\left( x \right)\) 单调递减，

因为 \(f\left( 0 \right) = 1\) ，\(f\left ( {{x}_{0}} \right )>1\)，\(f\left( \pi \right) = \frac{1}{2}a{\pi ^2} - 1\) ，

①当 \(\frac{1}{2}a{\pi ^2} - 1 > 0\) ，即 \(\frac{2}{{{\pi ^2}}} < a < 1\) 时， \(f\left( x \right)\) 在 \([0,\pi ]\) 上有0个零点.

②当 \(\frac{1}{2}a{\pi ^2} - 1 \leqslant 0\) ，即 \(0 < a \leqslant \frac{2}{{{\pi ^2}}}\) 时，\(f\left( x \right)\) 在 \([0,\pi ]\) 上有1个零点.

综上可得：当 \(0 < a \leqslant \frac{2}{{{\pi ^2}}}\) 时，\(f\left( x \right)\) 有1个零点；

当 \(a > \frac{2}{{{\pi ^2}}}\) 时，\(f\left( x \right)\) 有0个零点.