高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：解：由题意，数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 中，\({a_1} = 1\)，\({a_{n + 1}} + 2{a_n} = {2^{n + 1}},n \in {N^ * }\)，所以 \({a_2} = - 2{a_1} + {2^2} = 2\)，\({a_3} = - 2{a_2} + {2^3} = 4\)，\({a_4} = - 2{a_3} + {2^4} = 8\)，两边同除 \({2^{n + 1}}\)，可得 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 1\)，即 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} = - \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} + 1\)，设 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} + \lambda = - (\frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} + \lambda )\)，可得 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} = - \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} - 2\lambda \)，令 \( - 2\lambda = 1\)，解得 \(\lambda = - \frac{1}{2}\)，所以 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} - \frac{1}{2} = - (\frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} - \frac{1}{2})\)，因为 \({a_1} = 1\)，所以 \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}}} - \frac{1}{2} = - (\frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} - \frac{1}{2}) = \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{2^{n - 1}}}} - \frac{1}{2} = - (\frac{{{a_{n - 2}}}}{{{2^{n - 2}}}} - \frac{1}{2}) = \cdots = \frac{{{a_1}}}{2} - \frac{1}{2} = 0\)，所以 \(\frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} - \frac{1}{2} = 0\)，可得 \({a_n} = \frac{1}{2} \times {2^n} = {2^{n - 1}}\)，所以数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 的通项公式为 \({a_n} = {2^{n - 1}}\).