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高中数学选择性必修 第二册（381题）
数列
设
知识点：第四章 数列
参考答案：解：由（1）知，\({b_n} = \frac{{{2^n}}}{{\left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)}} = \frac{1}{{{2^n} - 1}} - \frac{1}{{{2^{n + 1}} - 1}}\)，故 \({T_n} = \left( {\frac{1}{{{2^1} - 1}} - \frac{1}{{{2^2} - 1}}} \right)\)\( + \left( {\frac{1}{{{2^2} - 1}} - \frac{1}{{{2^3} - 1}}} \right) + \)\( \cdots + \left( {\frac{1}{{{2^n} - 1}} - \frac{1}{{{2^{n + 1}} - 1}}} \right)\)\( = 1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}} - 1}}\)，于是，\({T_n} < {m^2} - 3 \Leftrightarrow \)\(1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}} - 1}} < {m^2} - 3\)因为 \(1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}} - 1}}\) 随 \(n\) 的增大而增大，所以 \({m^2} - 3 \geqslant 1\)，解得 \(m \leqslant - 2\) 或 \(m \geqslant 2\)所以实数 \(m\) 的取值范围是 \(m \leqslant - 2\) 或 \(m \geqslant 2\).