高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：由 \({a_n} \geqslant 0\) 得 \(n \leqslant \frac{{15}}{2}\)，而 \(n\in {N}_{+}\)，

所以当 \(1 \leqslant n \leqslant 7\) 时，\({a_n} \geqslant 0\)，当 \(n \geqslant 8\) 时，\({a_n} < 0\)，

当 \(1 \leqslant n \leqslant 7\) 时，\({T_n} = \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {{a_n}} \right| = {a_1} + {a_2} + \cdot \cdot \cdot + {a_n} = {S_n} = 14n - {n^2}\)，

当 \(n \geqslant 8\) 时，\({T_n} = \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {{a_7}} \right| + \left| {{a_8}} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {{a_n}} \right|\)

\( = {a_1} + {a_2} + \cdot \cdot \cdot + {a_7} - ({a_8} + \cdot \cdot \cdot + {a_n})\)

\( = {S_7} - ({S_n} - {S_7})\)

\( = 2{S_7} - {S_n}\)

\( = {n^2} - 14n + 98\)，

所以 \({T_n} = \begin{cases} 14n - {n^2},1 \leqslant n \leqslant 7,n \in {N_ + } \\ {n^2} - 14n + 98,n \geqslant 8,n \in {N_ + } \\ \end{cases}\)