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高中数学选择性必修 第二册（381题）

已知 \({S_n}\) 为数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 的前 \(n\) 项和，且满足 \({a_1} = \frac{1}{2}\) ，\({S_n} = \frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 1}} + {S_{n - 1}}\left( {n \geqslant 2} \right)\) ．

如果存在一个正数 \(M\) ，使得 \(\left| {{a_n}} \right| < M\) 恒成立，则称数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 是有界的．判断数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 是否有界，并说明理由．



知识点：第四章 数列


参考答案：数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 有界．
理由如下：\(\because \left| {{a_n}} \right| = \left| {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 1}}} \right| = \left| {1 - \frac{1}{{{n^2} + 1}}} \right| < 1\)，
即 \(\left| {{a_n}} \right| < 1\) 恒成立，
\(\therefore \)数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 有界．

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