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高中数学选择性必修 第二册（381题）
已知公差不为零的等差数列
记数列
知识点：第四章 数列
参考答案：因为 \(\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)，
则 \({T_n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{5}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)，
∴\(\frac{1}{2}{T_n} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \frac{5}{{{2^4}}} + \cdots + \frac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\)两式相减得 \(\frac{1}{2}{T_n} = \frac{1}{2} + 2\left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{2^4}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right) - \frac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 3}}{{{2^{n + 1}}}}\)
所以 \({T_n} = 3 - \frac{{2n + 3}}{{{2^n}}}\)
显然 \({T_n} < 3\)，且 \({T_{n + 1}} - {T_n} = \frac{{2n + 1}}{{{2^{n + 1}}}} > 0\)，即 \(\left\{ {{T_n}} \right\}\) 为递增数列，
\({T_1} = \frac{1}{2} < 1\)，\(1 < {T_2} = \frac{5}{4} < 2\)，\(1 < {T_3} = \frac{{15}}{8} < 2\)，\({T_4} = \frac{{37}}{{16}} > 2\)，所以 \(\left\langle {{T_1}} \right\rangle = 0\)，\(\left\langle {{T_2}} \right\rangle = \left\langle {{T_3}} \right\rangle = 1\)，\(n \geqslant 4\) 时，\(\left\langle {{T_n}} \right\rangle = 2\)，
所以 \(\left\langle {{T_1}} \right\rangle + \left\langle {{T_2}} \right\rangle + \cdots + \left\langle {{T_{10}}} \right\rangle = 16\).