高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：由 \({S_{n + 1}} = {S_n} + 3{a_n} - {2^n}\)，得 \({a_{n + 1}} = 3{a_n} - {2^n}\)，

∴\({a_2} = 3{a_1} - 2\)，

又 ∵\({a_2} + {S_2} = 31\)，∴\({a_2} + {a_1} + {a_2} = 2{a_2} + {a_1} = 2\left( {3{a_1} - 2} \right) + {a_1} = 7{a_1} - 4 = 31\)，

∴\({a}_{1}=5\)，∴\({a_1} - {2^1} = 3 \ne 0\)，

∵\(\frac{{{a_{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{{a_n} - {2^n}}} = \frac{{3{a_n} - {2^n} - {2^{n + 1}}}}{{{a_n} - {2^n}}} = \frac{{3\left( {{a_n} - {2^n}} \right)}}{{{a_n} - {2^n}}} = 3\)，

∴\(\left\{ {{a_n} - {2^n}} \right\}\) 是首项为 \({a_1} - {2^1} = 3\)，公比为3的等比数列；