高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：因为 \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\)，所以 \(f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}} = \frac{4}{{4 + 2 \times {4^x}}} = \frac{2}{{{4^x} + 2}}\)，所以 \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 1\).令 \(S = f\left( {\frac{1}{{2011}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2011}}} \right) + \cdot \cdot \cdot + f\left( {\frac{{2009}}{{2011}}} \right) + f\left( {\frac{{2010}}{{2011}}} \right)\)，倒写得 \(S = f\left( {\frac{{2010}}{{2011}}} \right) + f\left( {\frac{{2009}}{{2011}}} \right) + \cdot \cdot \cdot + f\left( {\frac{2}{{2011}}} \right) + f\left( {\frac{1}{{2011}}} \right)\).两式相加得 \(2S = 2010\)，故 \(S = 1005\).