“微信扫一扫”进入题库练习及模拟考试
高中数学选择性必修 第二册（381题）
已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，
试证明（1）中猜想的结论.
知识点：第四章 数列
参考答案：证明：设 \(n\) 个平面可将空间最多分成\(f(n)\)个部分，
当\(n=3\)时,3个平面可将空间分成８个部分，\( {C}_{3}^{0}+{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{3}=8\)，所以结论成立.
假设当n=k时，\( \mathrm{f}\left(k\right)={C}_{k}^{0}+{C}_{k}^{1}+{C}_{k}^{2}+{C}_{k}^{3}\)，则当\(n=k+1\)时，第 \(k + 1\) 个平面必与前面的 \(k\) 个平面产生\(k\)条交线，而由已知，这 \(k\) 条交线把第 \(k + 1\) 个平面最多分成 \( {C}_{k}^{0}+{C}_{k}^{1}+{C}_{k}^{2}\) 个部分，且每一部分将原有的空间分成两个部分，所以
\(f\left ( {k+1} \right )={f\left ( {k} \right )+C}^{0}_{k}+{C}^{1}_{k}+{C}^{2}_{k}=\left ( {{{C}^{0}_{k}+C}^{1}_{k}+{C}^{2}_{k}+{C}^{3}_{k}} \right )+\left ( {{{C}^{0}_{k}+C}^{1}_{k}+{C}^{2}_{k}} \right )\)
\( {=C}_{k+1}^{0}+\left({{C}_{k}^{1}+C}_{k}^{0}\right)+\left({{C}_{k}^{2}+C}_{k}^{1}\right)+\left({{C}_{k}^{3}+C}_{k}^{2}\right){=C}_{k+1}^{0}+{C}_{k+1}^{1}+{C}_{k+1}^{2}+{C}_{k+1}^{3}\)
因此，当\(n=k+1\)时，结论成立.由数学归纳法原理可知，对 \(n \in {N^*}\) 且 \(n > 2\) ，得证.