高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：用数学归纳法证明\( \mathrm{cos}nA\) 和 \( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}nA\)都是有理数．①当\(n = 1\)时，由(1)知\( \mathrm{cos}nA\)是有理数，从而有\( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}nA=1-\mathrm{cos}2A\)也是有理数．②假设当\( \mathrm{n}=\mathrm{k}\left(k\ge 1\right)\)时，\( \mathrm{cos}kA\) 和 \( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}kA\)都是有理数．当\( \mathrm{n}=\mathrm{k}+1\)时，由\( \mathrm{cos}\left(k+1\right)A=\mathrm{cos}A\bullet \mathrm{cos}kA-\mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}kA\)， \( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}\left(k+1\right)A=\mathrm{sin}A\bullet \left(\mathrm{sin}A\bullet \mathrm{cos}kA+\mathrm{cos}A\bullet \mathrm{sin}kA\right)=\left(\mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}A\right)\bullet \mathrm{cos}kA+\left(\mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}kA\right)\bullet \mathrm{cos}A\) 由①和归纳假设，知 \( \mathrm{cos}\left(k+1\right)A\) 和\( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}\left(k+1\right)A\) 都是有理数．即当\( \mathrm{n}=\mathrm{k}+1\)时，结论成立．综合①、②可知，对任意 \(n\)，\( \mathrm{cos}nA\) 和 \( \mathrm{sin}A\bullet \mathrm{sin}nA\) 都是有理数．