高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：由 \({a_1} = 3\)，\({a_n}_{ + 1} = 3{a_n} - 4n\) ，得 \({a_2} = 3{a_1} - 4 = 3 \times 3 - 4 = 5\)，\({a_3} = 3{a_2} - 4 \times 2 = 3 \times 5 - 8 = 7\) ，猜想\(\{ {a_n}\} \)的通项公式为 \({a_n} = 2n + 1\) ．下面利用数学归纳法证明：当 \(n = 1\) 时， \({a_1} = 3\) 成立；假设当 \(n = k\)（\(k \in {\mathbf{N}}\)，\(k \geqslant 1\)） 时成立，即 \({a_k} = 2k + 1\) ，则当 \(n = k + 1\) 时， \({a_k}_{ + 1} = 3{a_k} - 4k = 3\left( {2k + 1} \right) - 4k = 2k + 3 = 2\left( {k + 1} \right) + 1\) ．∴当 \(n = k + 1\) 时结论成立．综上所述，对于任意 \(n \in {\mathbf{N}}\) ，有 \({a_n} = 2n + 1\) ；