高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：第2个数为\(k\)时，则在1，2，3，…，\(k - 1\)中取一个数排在第1位，在 \(k + 1\)，\(k + 2\) ，…，\(n\) 中取出2个数排在后2位置上，因此，第2个数为\(k\)的4元子集个数为 \(C_{k - 1}^1C_{n - k}^2\) ，其中 \(2 \leqslant k \leqslant n - 2\) ，所以 \(F\left( n \right) = 2C_1^1C_{n - 2}^2 + 3C_2^1C_{n - 3}^2 + \cdots + \left( {n - 2} \right)C_{n - 3}^1C_2^2\) \( = 2\left( {C_2^2C_{n - 2}^2 + C_3^2C_{n - 3}^2 + \cdots + C_{n - 2}^2C_2^2} \right)\) 下面证明： \(C_2^2C_{n - 2}^2 + C_3^2C_{n - 3}^2 + \cdots + C_{n - 2}^2C_2^2 = C_{n + 1}^5\) 当 \(n = 5\) 时，由（1）知等式成立；假设 \(n = k\left( {k \geqslant 5} \right)\) 时，等式成立，即 \(C_2^2C_{k - 2}^2 + C_3^2C_{k - 3}^2 + \cdots + C_{k - 2}^2C_2^2 = C_{k + 1}^5\) 则 \(n = k + 1\) 时，\(C_2^2C_{k - 1}^2 + C_3^2C_{k - 2}^2 + \cdots + C_{k - 1}^2C_2^2\) \( = C_2^2\left( {C_{k - 2}^2 + C_{k - 2}^1} \right) + C_3^2\left( {C_{k - 3}^2 + C_{k - 3}^1} \right) + \cdots + C_{k - 2}^2\left( {C_2^2 + C_2^1} \right) + C_{k - 1}^2C_2^2\) \( = C_2^2C_{k - 2}^2 + C_3^2C_{k - 3}^2 + \cdots + C_{k - 2}^2C_2^2 + \left( {k - 2} \right)C_2^2 + \left( {k - 3} \right)C_3^2 + \cdots + 2C_{k - 2}^2 + C_{k - 1}^2\) \( = C_{k + 1}^5 + \left( {k + 1} \right)\left( {C_2^2 + C_3^2 + \cdots + C_{k - 1}^2} \right) - \left( {3C_2^2 + 4C_3^2 + \cdots + kC_{k - 1}^2} \right)\) \( = C_{k + 1}^5 + \left( {k + 1} \right)C_k^3 - 3\left( {C_3^3 + C_4^3 + \cdots C_k^3} \right)\) \( = C_{k + 1}^5 + 4C_{k + 1}^4 - 3C_{k + 1}^4 = C_{k + 2}^5\) 即 \(n = k + 1\) 时，等式成立．故 \(\frac{{F\left( n \right)}}{{C_{n + 1}^5}} = 2\) ．