高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：猜想数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式为 \({a_n} = \frac{{2n - 1}}{n}\) 用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当 \(n = 1\) 时，左边= \({a_1} = 1\) ，右边= \(\frac{{2 \times 1 - 1}}{1} = 1\) ，∴左边=右边即猜想成立；（ⅱ）假设当\(n = k\)时，猜想成立，即有 \({a_k} = \frac{{2k - 1}}{k}\) 那么当 \(n = k + 1\) 时，\({a_{k + 1}} = {a_k} + \frac{1}{{k \times \left( {k + 1} \right)}} = \frac{{2k - 1}}{k} + \frac{1}{{k \times \left( {k + 1} \right)}} = \frac{{2k + 1}}{{k + 1}} = \frac{{2\left( {k + 1} \right) - 1}}{{k + 1}}\) 从而猜想对 \(n = k + 1\) 也成立；由（ⅰ）（ⅱ）可知，猜想对任意的 \(n \in {N^ * }\) 都成立，所以数列\(\left\{ {{a_n}} \right\}\)的通项公式为 \({a_n} = \frac{{2n - 1}}{n}\) .