高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：证明：①当 \(n = 1,2\) 时显然成立；

②假设 \(n = k\) 时结论成立，即： \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots \ldots + \frac{1}{{{2^k} - 1}} > \frac{k}{2}\) 成立

当 \(n = k + 1\) 时，

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots \ldots + \frac{1}{{{2^k} - 1}} + \frac{1}{{{2^k}}} + \ldots \ldots + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 2}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 1}}\) \( > \frac{k}{2} + \left( {\frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^k} + 1}} + \cdots \cdots + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 2}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 1}}} \right)\)

\( > \frac{k}{2} + {2^k} \cdot \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 1}} = \frac{k}{2} + \frac{1}{{2 - \frac{1}{{{2^k}}}}} > \frac{k}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 1}}{2}\)

即当 \(n = k + 1\) 时结论也成立.由①②可知对任意\(n\in \text{N}_{+}\)，结论都成立.