高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：\({f_n}\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {{2^n} - 1} \right)x + {2^n}}}\) ，下面用数学归纳法证明：

(1)当 \(n = 1\) 时， \({f_1}\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {2 - 1} \right)x + 2}} = \frac{x}{{x + 2}}\) ，此时等式成立；

(2)设当 \(n = k\) 时，有 \({f_k}\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {{2^k} - 1} \right)x + {2^k}}}\) ，则当 \(n = k + 1\) 时，

\({f_{k + 1}}\left( x \right) = f\left[ {{f_k}\left( x \right)} \right] = \frac{{\frac{x}{{\left( {{2^k} - 1} \right)x + {2^k}}}}}{{\frac{x}{{\left( {{2^k} - 1} \right)x + {2^k}}} + 2}} = \frac{x}{{\left( {{2^{k + 1}} - 1} \right)x + {2^{k + 1}}}}\) ，

故当 \(n = k + 1\) 时，等式也成立

由（1）、（2）知原等式成立．