用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的 \(n\) 条直线把平面分为 \(f(n)\) 部分，则\(f(n) = 1 + \frac{{n(n + 1)}}{2}\) .”证明第二步归纳递推时，用到 \(f(k + 1) = f(k) + \) ___.

\(f(k) = 1 + \frac{{n(n + 1)}}{2}\) ， \(f(k + 1) = 1 + \frac{{(k + 2)(k + 3)}}{2}\) ,

\(\therefore f(k + 1) - f(k) = [1 + \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}] - [1 + \frac{{k(k + 1)}}{2}] = k + 1\) 

\(\therefore f(k + 1) = f(k) + (k + 1)\) 故答案为： \(k + 1\)

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