用数学归纳法证明不等式 \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{2^n} - 1}} < n\) （ \(n \geqslant 2\) 且 \(n \in {N^*}\) ）时，在证明从 \(n = k\) 到 \(n = k + 1\) 时，左边增加的项数是（       ）

用数学归纳法证明不等式 \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{2^n} - 1}} < n\) 的过程中，

假设 \(n = k\) 时不等式成立，则左边 \( = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{2^k} - 1}}\) ，

那么当 \(n = k + 1\) 时，左边 \( = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{{{2^k} - 1}} + \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^k} + 1}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 1}}\) ，

\(\therefore \)由 \(n = k\) 递推到 \(n = k + 1\) 时，不等式左边增加了： \(\frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^k} + 1}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{k + 1}} - 1}}\) ，

共 \(\left( {{2^{k + 1}} - 1} \right) - {2^k} + 1 = {2^k}\) 项.

故选：A

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