在数学归纳法的递推性证明中，由假设 \(n = k\) 时成立推导 \(n = k + 1\) 时成立时，\(f\left( n \right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{{2^n} - 1}}\) 增加的项数是___

当 \(n = k\) 时成立，即 \(f\left( k \right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{{2^k} - 1}}\) ，

则 \(n = k + 1\) 成立时，有 \(f\left( {k + 1} \right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{{2^k} - 1}} + \frac{1}{{{2^k}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^k} + {2^k} - 1}}\) ，

所以增加的项数是 \(\left( {{2^k} + {2^k} - 1} \right) - \left( {{2^k} - 1} \right) = {2^k}\) .

故答案为：\({2^k}\) .

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