若\( {c}_{n}=\frac{1}{{a}_{{b}_{n}}}\)，求数列\( \left\{{c}

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高中数学选择性必修第二册（381题）

已知等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的前 \( n\) 项和为 \( {S}_{n}\) ，公比 \( q>0\) ，且 \( {S}_{2}=6{a}_{2}-42\) ，\( {S}_{3}={a}_{4}-42\) ，数列 \( \left\{\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}\right\}\) 满足 \( \frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots +\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}=1-\frac{n+1}{{3}^{n}}\left(n\in {N}^{*}\right)\) .

若 \( {c}_{n}=\frac{1}{{a}_{{b}_{n}}}\) ，求数列 \( \left\{{c}_{n}\right\}\) 的前 \( n\) 项和 \( {T}_{n}\) .

知识点：第四章数列

参考答案：由（1）知 \( {c}_{n}=\frac{1}{{a}_{{b}_{n}}}=\frac{1}{{3}^{2n-1}}\) ，

∴ \( {T}_{n}={c}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+\cdots +{c}_{n}=\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{1}{{3}^{3}}+\frac{1}{{3}^{5}}+\cdots +\frac{1}{{3}^{2n-1}}\) \( =\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{{9}^{n}}\right)}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{8}\left(1-\frac{1}{{9}^{n}}\right)\) .

解析：

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知识点：第四章 数列

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知识点：第四章数列