高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：由 \( \left\{\begin{array}{c}{S}_{2}=6{a}_{2}-42\left(1\right)\\ {S}_{3}={a}_{4}-42\left(2\right)\end{array}\right.\) ，-（1）得 \( {a}_{3}={a}_{4}-6{a}_{2}\) ，

即 \( {q}^{2}-q-6=0\) ，又 \( q>0\) ，∴ \( q=3\) .把 \( q=3\) 代入（1）得 \( {a}_{1}=3\) ，∴ \({a_n} = {3^n}\) ，

又∵ \( \frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots +\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}=1-\frac{n+1}{{3}^{n}}\left(n\in {N}^{*}\right)\) ，当 \( n=1\) 时， \( \frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}\) ，

当 \( n\ge 2\) 时， \( \frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}=1-\frac{n+1}{{3}^{n}}-\left(1-\frac{n}{{3}^{n-1}}\right)=\frac{2n-1}{{3}^{n}}\) ，因 \( n=1\) 时， \( \frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}\) 也符合上式，

∴ \( \frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{2n-1}{{3}^{n}}\left(n\in {N}^{*}\right)\) ，又 \({a_n} = {3^n}\) ，∴ \( {b}_{n}=2n-1\left(n\in {N}^{*}\right)\) .

解析：