已知递增等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的前 \( n\) 项和为 \( {S}_{n}\) ， \({a_2} = 2\) ， \( {S}_{3}=7\) ，数列\(\{ {\log _2}({S_n} + 1)\} \) 的前 \( n\) 项和为 \( {T}_{n}\) ，则 \( {T}_{n}=\) ___．

设等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的公比为 \( q\) ，由 \({a_2} = 2\) ， \({S_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3} = 7\) ，得 \(\frac{2}{q} + 2 + 2q = 7\) ，即\( 2{q}^{2}-5q+2=0\) ，解得 \( q=2\) 或 \( q=\frac{1}{2}\) （舍去），

则 \({a_1} = \frac{{{a_2}}}{q} = \frac{2}{2} = 1\) ，所以 \( {S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}={2}^{n}-1\) ；令 \({b_n} = {\log _2}({S_n} + 1)\) ，则 \({b}_{n}=\log_{2} {{2}^{n}}\) \( =n\)，所以\({T_n} = \frac{n}{2}(n + 1)\) ．

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